Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth6 Unicode version

Theorem axgroth6 9227
 Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. This version is called Tarski's axiom: given a set , there exists a set containing , the subsets of the members of , the power sets of the members of , and the subsets of of cardinality less than that of . (Contributed by NM, 21-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
axgroth6
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem axgroth6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth5 9223 . 2
2 biid 236 . . . 4
3 pweq 4015 . . . . . . . . 9
43sseq1d 3530 . . . . . . . 8
54cbvralv 3084 . . . . . . 7
6 ssid 3522 . . . . . . . . . 10
7 sseq2 3525 . . . . . . . . . . 11
87rspcev 3210 . . . . . . . . . 10
96, 8mpan2 671 . . . . . . . . 9
10 pweq 4015 . . . . . . . . . . . . 13
1110sseq1d 3530 . . . . . . . . . . . 12
1211rspccv 3207 . . . . . . . . . . 11
13 pwss 4027 . . . . . . . . . . . 12
14 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
1514pwex 4635 . . . . . . . . . . . . 13
16 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . 14
17 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
1816, 17imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13
1915, 18spcv 3200 . . . . . . . . . . . 12
2013, 19sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
2112, 20syl6 33 . . . . . . . . . 10
2221rexlimdv 2947 . . . . . . . . 9
239, 22impbid2 204 . . . . . . . 8
2423ralbidv 2896 . . . . . . 7
255, 24sylbi 195 . . . . . 6
2625pm5.32i 637 . . . . 5
27 r19.26 2984 . . . . 5
28 r19.26 2984 . . . . 5
2926, 27, 283bitr4i 277 . . . 4
30 selpw 4019 . . . . . 6
31 impexp 446 . . . . . . . . 9
32 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
33 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . 12
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
3534pm4.71i 632 . . . . . . . . . 10
3635imbi1i 325 . . . . . . . . 9
37 brsdom 7558 . . . . . . . . . . . 12
3837imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11
39 impexp 446 . . . . . . . . . . 11
4038, 39bitri 249 . . . . . . . . . 10
4140imbi2i 312 . . . . . . . . 9
4231, 36, 413bitr4ri 278 . . . . . . . 8
4342pm5.74ri 246 . . . . . . 7
44 pm4.64 372 . . . . . . 7
4543, 44syl6bb 261 . . . . . 6
4630, 45sylbi 195 . . . . 5
4746ralbiia 2887 . . . 4
482, 29, 473anbi123i 1185 . . 3
4948exbii 1667 . 2
501, 49mpbir 209 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535 This theorem is referenced by:  grothomex  9228  grothac  9229 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-groth 9222 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-dom 7538  df-sdom 7539
 Copyright terms: Public domain W3C validator