Theorem axinf2 8078

Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 8076 and Regularity ax-reg 8039.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 8079 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Nov-1996.)

Assertion

Ref	Expression
axinf2

Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem axinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 6719	. . 3
2		peano2 6720	. . . 4
3	2	ax-gen 1618	. . 3
4		zfinf 8077	. . . . . 6
5	4	inf2 8061	. . . . 5
6	5	inf3 8073	. . . 4
7		eleq2 2530	. . . . 5
8		eleq2 2530	. . . . . . 7
9		eleq2 2530	. . . . . . 7
10	8, 9	imbi12d 320	. . . . . 6
11	10	albidv 1713	. . . . 5
12	7, 11	anbi12d 710	. . . 4
13	6, 12	spcev 3201	. . 3
14	1, 3, 13	mp2an 672	. 2
15		0el 3802	. . . . 5
16		df-rex 2813	. . . . 5
17	15, 16	bitri 249	. . . 4
18		sucel 4956	. . . . . . 7
19		df-rex 2813	. . . . . . 7
20	18, 19	bitri 249	. . . . . 6
21	20	imbi2i 312	. . . . 5
22	21	albii 1640	. . . 4
23	17, 22	anbi12i 697	. . 3
24	23	exbii 1667	. 2
25	14, 24	mpbi 208	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808  c0 3784  succsuc 4885  com 6700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095