Theorem axinfnd 9005

Description: A version of the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 5-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axinfnd

Proof of Theorem axinfnd

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axinfndlem1 9004	. . . . . . 7
2	1	ax-gen 1618	. . . . . 6
3		nfnae 2058	. . . . . . . 8
4		nfnae 2058	. . . . . . . 8
5	3, 4	nfan 1928	. . . . . . 7
6		nfnae 2058	. . . . . . . . . 10
7		nfnae 2058	. . . . . . . . . 10
8	6, 7	nfan 1928	. . . . . . . . 9
9		nfcvd 2620	. . . . . . . . . 10
10		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . 11
11	10	adantl 466	. . . . . . . . . 10
12	9, 11	nfeld 2627	. . . . . . . . 9
13	8, 12	nfald 1951	. . . . . . . 8
14		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . 12
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
16	9, 15	nfeld 2627	. . . . . . . . . 10
17		nfnae 2058	. . . . . . . . . . . 12
18		nfnae 2058	. . . . . . . . . . . 12
19	17, 18	nfan 1928	. . . . . . . . . . 11
20		nfnae 2058	. . . . . . . . . . . . . 14
21		nfnae 2058	. . . . . . . . . . . . . 14
22	20, 21	nfan 1928	. . . . . . . . . . . . 13
23	11, 15	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . . . 14
24	12, 23	nfand 1925	. . . . . . . . . . . . 13
25	22, 24	nfexd 1952	. . . . . . . . . . . 12
26	16, 25	nfimd 1917	. . . . . . . . . . 11
27	19, 26	nfald 1951	. . . . . . . . . 10
28	16, 27	nfand 1925	. . . . . . . . 9
29	8, 28	nfexd 1952	. . . . . . . 8
30	13, 29	nfimd 1917	. . . . . . 7
31		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . 12
32		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
34	31, 33	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . 11
35	8, 34	nfan1 1927	. . . . . . . . . 10
36		simpr 461	. . . . . . . . . . 11
37	36	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
38	35, 37	albid 1885	. . . . . . . . 9
39	36	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11
40		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42	41	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43	40, 42	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	22, 43	nfan1 1927	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	37	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16
46	44, 45	exbid 1886	. . . . . . . . . . . . . . 15
47	39, 46	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13
49	5, 26, 48	cbvald 2025	. . . . . . . . . . . 12
50	49	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
51	39, 50	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10
52	35, 51	exbid 1886	. . . . . . . . 9
53	38, 52	imbi12d 320	. . . . . . . 8
54	53	ex 434	. . . . . . 7
55	5, 30, 54	cbvald 2025	. . . . . 6
56	2, 55	mpbii 211	. . . . 5
57	56	19.21bi 1869	. . . 4
58	57	ex 434	. . 3
59		nd1 8983	. . . . 5
60	59	aecoms 2052	. . . 4
61	60	pm2.21d 106	. . 3
62		nd3 8985	. . . 4
63	62	pm2.21d 106	. . 3
64	58, 61, 63	pm2.61ii 165	. 2
65	64	19.35ri 1690	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612  F/_wnfc 2605

This theorem is referenced by:  zfcndinf  9017  axinfprim  29078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-reg 8039  ax-inf 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-nul 3785  df-sn 4030  df-pr 4032