Theorem axinfndlem1 9004

Description: Lemma for the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 5-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axinfndlem1

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axinfndlem1

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf 8077	. . . . 5
2		nfnae 2058	. . . . . . 7
3		nfnae 2058	. . . . . . 7
4	2, 3	nfan 1928	. . . . . 6
5		nfcvf 2644	. . . . . . . . 9
6	5	adantr 465	. . . . . . . 8
7		nfcvd 2620	. . . . . . . 8
8	6, 7	nfeld 2627	. . . . . . 7
9		nfnae 2058	. . . . . . . . 9
10		nfnae 2058	. . . . . . . . 9
11	9, 10	nfan 1928	. . . . . . . 8
12		nfnae 2058	. . . . . . . . . . 11
13		nfnae 2058	. . . . . . . . . . 11
14	12, 13	nfan 1928	. . . . . . . . . 10
15		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
17	6, 16	nfeld 2627	. . . . . . . . . . 11
18	16, 7	nfeld 2627	. . . . . . . . . . 11
19	17, 18	nfand 1925	. . . . . . . . . 10
20	14, 19	nfexd 1952	. . . . . . . . 9
21	8, 20	nfimd 1917	. . . . . . . 8
22	11, 21	nfald 1951	. . . . . . 7
23	8, 22	nfand 1925	. . . . . 6
24		simpr 461	. . . . . . . . 9
25	24	eleq2d 2527	. . . . . . . 8
26		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . 11
27		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . 12
28	27	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
29	26, 28	nfeqd 2626	. . . . . . . . . 10
30	11, 29	nfan1 1927	. . . . . . . . 9
31		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . 13
32		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
34	31, 33	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . . 12
35	14, 34	nfan1 1927	. . . . . . . . . . 11
36		elequ2 1823	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12
38	37	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
39	35, 38	exbid 1886	. . . . . . . . . 10
40	25, 39	imbi12d 320	. . . . . . . . 9
41	30, 40	albid 1885	. . . . . . . 8
42	25, 41	anbi12d 710	. . . . . . 7
43	42	ex 434	. . . . . 6
44	4, 23, 43	cbvexd 2026	. . . . 5
45	1, 44	mpbii 211	. . . 4
46	45	a1d 25	. . 3
47	46	ex 434	. 2
48		nd1 8983	. . 3
49	48	pm2.21d 106	. 2
50		nd2 8984	. . 3
51	50	pm2.21d 106	. 2
52	47, 49, 51	pm2.61ii 165	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612  F/_wnfc 2605

This theorem is referenced by:  axinfnd  9005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-reg 8039  ax-inf 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-nul 3785  df-sn 4030  df-pr 4032