Theorem axpownd 8999

Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axpownd

Proof of Theorem axpownd

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem4 8998	. 2
2		axpowndlem1 8993	. . 3
3	2	aecoms 2052	. 2
4	2	a1d 25	. . 3
5		nfnae 2058	. . . . . . . 8
6		nfae 2056	. . . . . . . 8
7	5, 6	nfan 1928	. . . . . . 7
8		el 4634	. . . . . . . . . . . . 13
9		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . . 15
10		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . . . 15
11	9, 10	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . . . 14
12		elequ2 1823	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
14	5, 11, 13	cbvexd 2026	. . . . . . . . . . . . 13
15	8, 14	mpbii 211	. . . . . . . . . . . 12
16		19.8a 1857	. . . . . . . . . . . 12
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . . . 11
18		df-ex 1613	. . . . . . . . . . 11
19	17, 18	sylib 196	. . . . . . . . . 10
20	19	adantr 465	. . . . . . . . 9
21		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . 14
22	21	dral1 2067	. . . . . . . . . . . . 13
23		alnex 1614	. . . . . . . . . . . . 13
24		alnex 1614	. . . . . . . . . . . . 13
25	22, 23, 24	3bitr3g 287	. . . . . . . . . . . 12
26		nd2 8984	. . . . . . . . . . . . 13
27		mtt 339	. . . . . . . . . . . . 13
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
29	25, 28	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11
30	29	dral2 2066	. . . . . . . . . 10
31	30	adantl 466	. . . . . . . . 9
32	20, 31	mtbid 300	. . . . . . . 8
33	32	pm2.21d 106	. . . . . . 7
34	7, 33	alrimi 1877	. . . . . 6
35		19.8a 1857	. . . . . 6
36	34, 35	syl 16	. . . . 5
37	36	a1d 25	. . . 4
38	37	ex 434	. . 3
39	4, 38	pm2.61i 164	. 2
40	1, 3, 39	pm2.61ii 165	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612

This theorem is referenced by:  zfcndpow  9015  axpowprim  29076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-reg 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032