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Theorem axpowndlem2 8994
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. Revised to remove a redundant antecedent from the consequence. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Dec-2016.) (Revised and shortened by Wolf Lammen, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axpowndlem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfpow 4631 . . . 4
2 19.8a 1857 . . . . . . . 8
3 sp 1859 . . . . . . . 8
42, 3imim12i 57 . . . . . . 7
54alimi 1633 . . . . . 6
65imim1i 58 . . . . 5
76alimi 1633 . . . 4
81, 7eximii 1658 . . 3
9 nfnae 2058 . . . . 5
10 nfnae 2058 . . . . 5
119, 10nfan 1928 . . . 4
12 nfnae 2058 . . . . . 6
13 nfnae 2058 . . . . . 6
1412, 13nfan 1928 . . . . 5
15 nfv 1707 . . . . . . 7
16 nfnae 2058 . . . . . . . . . 10
17 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . 11
18 nfcvf 2644 . . . . . . . . . . 11
1917, 18nfeld 2627 . . . . . . . . . 10
2016, 19nfexd 1952 . . . . . . . . 9
2120adantr 465 . . . . . . . 8
22 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . 11
23 nfcvf 2644 . . . . . . . . . . 11
2422, 23nfeld 2627 . . . . . . . . . 10
2513, 24nfald 1951 . . . . . . . . 9
2625adantl 466 . . . . . . . 8
2721, 26nfimd 1917 . . . . . . 7
2815, 27nfald 1951 . . . . . 6
2918, 17nfeld 2627 . . . . . . 7
3029adantr 465 . . . . . 6
3128, 30nfimd 1917 . . . . 5
3214, 31nfald 1951 . . . 4
33 nfeqf2 2041 . . . . . . . . 9
3433naecoms 2053 . . . . . . . 8
3534adantr 465 . . . . . . 7
3614, 35nfan1 1927 . . . . . 6
37 nfnae 2058 . . . . . . . . . . . . . 14
38 nfeqf2 2041 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938naecoms 2053 . . . . . . . . . . . . . 14
4037, 39nfan1 1927 . . . . . . . . . . . . 13
41 elequ1 1821 . . . . . . . . . . . . . 14
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
4340, 42exbid 1886 . . . . . . . . . . . 12
4443adantll 713 . . . . . . . . . . 11
4512, 34nfan1 1927 . . . . . . . . . . . . 13
46 elequ1 1821 . . . . . . . . . . . . . 14
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
4845, 47albid 1885 . . . . . . . . . . . 12
4948adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
5044, 49imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
5150ex 434 . . . . . . . . 9
5211, 27, 51cbvald 2025 . . . . . . . 8
5352adantr 465 . . . . . . 7
54 elequ2 1823 . . . . . . . 8
5554adantl 466 . . . . . . 7
5653, 55imbi12d 320 . . . . . 6
5736, 56albid 1885 . . . . 5
5857ex 434 . . . 4
5911, 32, 58cbvexd 2026 . . 3
608, 59mpbii 211 . 2
6160ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612  F/wnf 1616
This theorem is referenced by:  axpowndlem3  8996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-pow 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607
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