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Theorem axpowndlem2 8524
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axpowndlem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfpow 4417 . . . . . 6
2 19.8a 1765 . . . . . . . . . . 11
3 sp 1766 . . . . . . . . . . 11
42, 3imim12i 56 . . . . . . . . . 10
54alimi 1569 . . . . . . . . 9
65imim1i 57 . . . . . . . 8
76alimi 1569 . . . . . . 7
87eximi 1586 . . . . . 6
91, 8mp1i 12 . . . . 5
109ax-gen 1556 . . . 4
11 nfnae 2048 . . . . . 6
12 nfnae 2048 . . . . . 6
1311, 12nfan 1849 . . . . 5
14 nfcvd 2580 . . . . . . . 8
15 nfcvf 2601 . . . . . . . . 9
1615adantr 453 . . . . . . . 8
1714, 16nfeqd 2593 . . . . . . 7
1817nfnd 1812 . . . . . 6
19 nfv 1631 . . . . . . 7
20 nfnae 2048 . . . . . . . . 9
21 nfnae 2048 . . . . . . . . 9
2220, 21nfan 1849 . . . . . . . 8
23 nfnae 2048 . . . . . . . . . . . . 13
24 nfnae 2048 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24nfan 1849 . . . . . . . . . . . 12
2614, 16nfeld 2594 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26nfexd 1876 . . . . . . . . . . 11
28 nfcvf 2601 . . . . . . . . . . . . . 14
2928adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
3014, 29nfeld 2594 . . . . . . . . . . . 12
3122, 30nfald 1874 . . . . . . . . . . 11
3227, 31nfimd 1830 . . . . . . . . . 10
3319, 32nfald 1874 . . . . . . . . 9
3416, 14nfeld 2594 . . . . . . . . 9
3533, 34nfimd 1830 . . . . . . . 8
3622, 35nfald 1874 . . . . . . 7
3719, 36nfexd 1876 . . . . . 6
3818, 37nfimd 1830 . . . . 5
39 equequ1 1699 . . . . . . . . 9
4039notbid 287 . . . . . . . 8
4140adantl 454 . . . . . . 7
42 nfcvd 2580 . . . . . . . . . . . . 13
43 nfcvf2 2602 . . . . . . . . . . . . . 14
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
4542, 44nfeqd 2593 . . . . . . . . . . . 12
4622, 45nfan1 1848 . . . . . . . . . . 11
47 nfcvd 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 nfcvf2 2602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4948adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5047, 49nfeqd 2593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5125, 50nfan1 1848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 elequ1 1731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5451, 53exbid 1792 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 elequ1 1731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5746, 56albid 1791 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5854, 57imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14
6013, 32, 59cbvald 1990 . . . . . . . . . . . . 13
6160adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
62 elequ2 1733 . . . . . . . . . . . . 13
6362adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
6461, 63imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11
6546, 64albid 1791 . . . . . . . . . 10
6665ex 425 . . . . . . . . 9
6713, 36, 66cbvexd 1992 . . . . . . . 8
6867adantr 453 . . . . . . 7
6941, 68imbi12d 313 . . . . . 6
7069ex 425 . . . . 5
7113, 38, 70cbvald 1990 . . . 4
7210, 71mpbii 204 . . 3
737219.21bi 1777 . 2
7473ex 425 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  A.wal 1550  E.wex 1551  F/_wnfc 2566
This theorem is referenced by:  axpowndlem3  8525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-pow 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568
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