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Theorem axpowndlem2 8644
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axpowndlem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfpow 4494 . . . . . 6
2 19.8a 1769 . . . . . . . . . . 11
3 sp 1770 . . . . . . . . . . 11
42, 3imim12i 56 . . . . . . . . . 10
54alimi 1583 . . . . . . . . 9
65imim1i 57 . . . . . . . 8
76alimi 1583 . . . . . . 7
87eximi 1602 . . . . . 6
91, 8mp1i 12 . . . . 5
109ax-gen 1570 . . . 4
11 nfnae 2049 . . . . . 6
12 nfnae 2049 . . . . . 6
1311, 12nfan 1850 . . . . 5
14 nfcvd 2626 . . . . . . . 8
15 nfcvf 2647 . . . . . . . . 9
1615adantr 453 . . . . . . . 8
1714, 16nfeqd 2639 . . . . . . 7
1817nfnd 1815 . . . . . 6
19 nfv 1647 . . . . . . 7
20 nfnae 2049 . . . . . . . . 9
21 nfnae 2049 . . . . . . . . 9
2220, 21nfan 1850 . . . . . . . 8
23 nfnae 2049 . . . . . . . . . . . . 13
24 nfnae 2049 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24nfan 1850 . . . . . . . . . . . 12
2614, 16nfeld 2640 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26nfexd 1876 . . . . . . . . . . 11
28 nfcvf 2647 . . . . . . . . . . . . . 14
2928adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
3014, 29nfeld 2640 . . . . . . . . . . . 12
3122, 30nfald 1874 . . . . . . . . . . 11
3227, 31nfimd 1833 . . . . . . . . . 10
3319, 32nfald 1874 . . . . . . . . 9
3416, 14nfeld 2640 . . . . . . . . 9
3533, 34nfimd 1833 . . . . . . . 8
3622, 35nfald 1874 . . . . . . 7
3719, 36nfexd 1876 . . . . . 6
3818, 37nfimd 1833 . . . . 5
39 equequ1 1713 . . . . . . . . 9
4039notbid 287 . . . . . . . 8
4140adantl 454 . . . . . . 7
42 nfcvd 2626 . . . . . . . . . . . . 13
43 nfcvf2 2648 . . . . . . . . . . . . . 14
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
4542, 44nfeqd 2639 . . . . . . . . . . . 12
4622, 45nfan1 1849 . . . . . . . . . . 11
47 nfcvd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 nfcvf2 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4948adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5047, 49nfeqd 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5125, 50nfan1 1849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 elequ1 1735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5451, 53exbid 1796 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 elequ1 1735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5746, 56albid 1795 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5854, 57imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14
6013, 32, 59cbvald 1993 . . . . . . . . . . . . 13
6160adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
62 elequ2 1737 . . . . . . . . . . . . 13
6362adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
6461, 63imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11
6546, 64albid 1795 . . . . . . . . . 10
6665ex 425 . . . . . . . . 9
6713, 36, 66cbvexd 1995 . . . . . . . 8
6867adantr 453 . . . . . . 7
6941, 68imbi12d 313 . . . . . 6
7069ex 425 . . . . 5
7113, 38, 70cbvald 1993 . . . 4
7210, 71mpbii 204 . . 3
737219.21bi 1781 . 2
7473ex 425 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  A.wal 1564  E.wex 1565  F/_wnfc 2612
This theorem is referenced by:  axpowndlem3  8645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-pow 4493
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614
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