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Theorem axpowndlem2 8587
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axpowndlem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfpow 4478 . . . . . 6
2 19.8a 1761 . . . . . . . . . . 11
3 sp 1762 . . . . . . . . . . 11
42, 3imim12i 56 . . . . . . . . . 10
54alimi 1575 . . . . . . . . 9
65imim1i 57 . . . . . . . 8
76alimi 1575 . . . . . . 7
87eximi 1594 . . . . . 6
91, 8mp1i 12 . . . . 5
109ax-gen 1562 . . . 4
11 nfnae 2041 . . . . . 6
12 nfnae 2041 . . . . . 6
1311, 12nfan 1842 . . . . 5
14 nfcvd 2618 . . . . . . . 8
15 nfcvf 2639 . . . . . . . . 9
1615adantr 453 . . . . . . . 8
1714, 16nfeqd 2631 . . . . . . 7
1817nfnd 1807 . . . . . 6
19 nfv 1639 . . . . . . 7
20 nfnae 2041 . . . . . . . . 9
21 nfnae 2041 . . . . . . . . 9
2220, 21nfan 1842 . . . . . . . 8
23 nfnae 2041 . . . . . . . . . . . . 13
24 nfnae 2041 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24nfan 1842 . . . . . . . . . . . 12
2614, 16nfeld 2632 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26nfexd 1868 . . . . . . . . . . 11
28 nfcvf 2639 . . . . . . . . . . . . . 14
2928adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
3014, 29nfeld 2632 . . . . . . . . . . . 12
3122, 30nfald 1866 . . . . . . . . . . 11
3227, 31nfimd 1825 . . . . . . . . . 10
3319, 32nfald 1866 . . . . . . . . 9
3416, 14nfeld 2632 . . . . . . . . 9
3533, 34nfimd 1825 . . . . . . . 8
3622, 35nfald 1866 . . . . . . 7
3719, 36nfexd 1868 . . . . . 6
3818, 37nfimd 1825 . . . . 5
39 equequ1 1705 . . . . . . . . 9
4039notbid 287 . . . . . . . 8
4140adantl 454 . . . . . . 7
42 nfcvd 2618 . . . . . . . . . . . . 13
43 nfcvf2 2640 . . . . . . . . . . . . . 14
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
4542, 44nfeqd 2631 . . . . . . . . . . . 12
4622, 45nfan1 1841 . . . . . . . . . . 11
47 nfcvd 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 nfcvf2 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4948adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5047, 49nfeqd 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5125, 50nfan1 1841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 elequ1 1727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5451, 53exbid 1788 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 elequ1 1727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5746, 56albid 1787 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5854, 57imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14
6013, 32, 59cbvald 1985 . . . . . . . . . . . . 13
6160adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
62 elequ2 1729 . . . . . . . . . . . . 13
6362adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
6461, 63imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11
6546, 64albid 1787 . . . . . . . . . 10
6665ex 425 . . . . . . . . 9
6713, 36, 66cbvexd 1987 . . . . . . . 8
6867adantr 453 . . . . . . 7
6941, 68imbi12d 313 . . . . . 6
7069ex 425 . . . . 5
7113, 38, 70cbvald 1985 . . . 4
7210, 71mpbii 204 . . 3
737219.21bi 1773 . 2
7473ex 425 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  A.wal 1556  E.wex 1557  F/_wnfc 2604
This theorem is referenced by:  axpowndlem3  8588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1562  ax-4 1573  ax-5 1636  ax-6 1677  ax-7 1697  ax-8 1726  ax-9 1728  ax-10 1743  ax-11 1748  ax-12 1760  ax-13 1947  ax-ext 2462  ax-pow 4477
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1337  df-ex 1558  df-nf 1561  df-cleq 2474  df-clel 2477  df-nfc 2606
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