MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpowndlem3 Unicode version

Theorem axpowndlem3 8996
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 10-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem3
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axpowndlem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sp 1859 . . 3
21con3i 135 . 2
3 p0ex 4639 . . . . . . . 8
4 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
54imbi2d 316 . . . . . . . . 9
65albidv 1713 . . . . . . . 8
73, 6spcev 3201 . . . . . . 7
8 0ex 4582 . . . . . . . . 9
98snid 4057 . . . . . . . 8
10 eleq1 2529 . . . . . . . 8
119, 10mpbiri 233 . . . . . . 7
127, 11mpg 1620 . . . . . 6
13 neq0 3795 . . . . . . . . . 10
1413con1bii 331 . . . . . . . . 9
1514imbi1i 325 . . . . . . . 8
1615albii 1640 . . . . . . 7
1716exbii 1667 . . . . . 6
1812, 17mpbir 209 . . . . 5
19 nfnae 2058 . . . . . 6
20 nfnae 2058 . . . . . . 7
21 nfcvf2 2645 . . . . . . . . . . 11
22 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . 11
2321, 22nfeld 2627 . . . . . . . . . 10
2419, 23nfexd 1952 . . . . . . . . 9
2524nfnd 1902 . . . . . . . 8
2622, 21nfeld 2627 . . . . . . . 8
2725, 26nfimd 1917 . . . . . . 7
28 nfeqf2 2041 . . . . . . . . . . . 12
2919, 28nfan1 1927 . . . . . . . . . . 11
30 elequ2 1823 . . . . . . . . . . . 12
3130adantl 466 . . . . . . . . . . 11
3229, 31exbid 1886 . . . . . . . . . 10
3332notbid 294 . . . . . . . . 9
34 elequ1 1821 . . . . . . . . . 10
3534adantl 466 . . . . . . . . 9
3633, 35imbi12d 320 . . . . . . . 8
3736ex 434 . . . . . . 7
3820, 27, 37cbvald 2025 . . . . . 6
3919, 38exbid 1886 . . . . 5
4018, 39mpbii 211 . . . 4
41 nfae 2056 . . . . 5
42 nfae 2056 . . . . . 6
43 axc112 1937 . . . . . . . . . 10
44 alnex 1614 . . . . . . . . . 10
45 alnex 1614 . . . . . . . . . 10
4643, 44, 453imtr3g 269 . . . . . . . . 9
47 nd3 8985 . . . . . . . . . 10
4847pm2.21d 106 . . . . . . . . 9
4946, 48jad 162 . . . . . . . 8
5049spsd 1867 . . . . . . 7
5150imim1d 75 . . . . . 6
5242, 51alimd 1876 . . . . 5
5341, 52eximd 1882 . . . 4
5440, 53syl5com 30 . . 3
55 axpowndlem2 8994 . . 3
5654, 55pm2.61d 158 . 2
572, 56syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   c0 3784  {csn 4029
This theorem is referenced by:  axpowndlem4  8998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-reg 8039
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032
  Copyright terms: Public domain W3C validator