Theorem axpowndlem4 8998

Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
axpowndlem4

Proof of Theorem axpowndlem4

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem3 8996	. . . . 5
2	1	ax-gen 1618	. . . 4
3		nfnae 2058	. . . . . 6
4		nfnae 2058	. . . . . 6
5	3, 4	nfan 1928	. . . . 5
6		nfcvf 2644	. . . . . . . . 9
7	6	adantr 465	. . . . . . . 8
8		nfcvd 2620	. . . . . . . 8
9	7, 8	nfeqd 2626	. . . . . . 7
10	9	nfnd 1902	. . . . . 6
11		nfnae 2058	. . . . . . . 8
12		nfnae 2058	. . . . . . . 8
13	11, 12	nfan 1928	. . . . . . 7
14		nfv 1707	. . . . . . . 8
15		nfnae 2058	. . . . . . . . . . . . 13
16		nfnae 2058	. . . . . . . . . . . . 13
17	15, 16	nfan 1928	. . . . . . . . . . . 12
18	7, 8	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . 12
19	17, 18	nfexd 1952	. . . . . . . . . . 11
20		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . . . 14
21	20	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
22	7, 21	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . 12
23	14, 22	nfald 1951	. . . . . . . . . . 11
24	19, 23	nfimd 1917	. . . . . . . . . 10
25	13, 24	nfald 1951	. . . . . . . . 9
26	8, 7	nfeld 2627	. . . . . . . . 9
27	25, 26	nfimd 1917	. . . . . . . 8
28	14, 27	nfald 1951	. . . . . . 7
29	13, 28	nfexd 1952	. . . . . 6
30	10, 29	nfimd 1917	. . . . 5
31		equequ2 1799	. . . . . . . . 9
32	31	notbid 294	. . . . . . . 8
33	32	adantl 466	. . . . . . 7
34		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . . . 15
35		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	34, 36	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . . . . 14
38	13, 37	nfan1 1927	. . . . . . . . . . . . 13
39		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41	40	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
42	39, 41	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43	17, 42	nfan1 1927	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		elequ2 1823	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	44	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	43, 45	exbid 1886	. . . . . . . . . . . . . 14
47		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	5, 22, 48	cbvald 2025	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
51	46, 50	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13
52	38, 51	albid 1885	. . . . . . . . . . . 12
53		elequ1 1821	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
55	52, 54	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11
56	55	ex 434	. . . . . . . . . 10
57	5, 27, 56	cbvald 2025	. . . . . . . . 9
58	13, 57	exbid 1886	. . . . . . . 8
59	58	adantr 465	. . . . . . 7
60	33, 59	imbi12d 320	. . . . . 6
61	60	ex 434	. . . . 5
62	5, 30, 61	cbvald 2025	. . . 4
63	2, 62	mpbii 211	. . 3
64	63	19.21bi 1869	. 2
65	64	ex 434	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612  F/_wnfc 2605

This theorem is referenced by:  axpownd  8999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-reg 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032