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Theorem axpowndlem4 8998
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem4

Proof of Theorem axpowndlem4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpowndlem3 8996 . . . . 5
21ax-gen 1618 . . . 4
3 nfnae 2058 . . . . . 6
4 nfnae 2058 . . . . . 6
53, 4nfan 1928 . . . . 5
6 nfcvf 2644 . . . . . . . . 9
76adantr 465 . . . . . . . 8
8 nfcvd 2620 . . . . . . . 8
97, 8nfeqd 2626 . . . . . . 7
109nfnd 1902 . . . . . 6
11 nfnae 2058 . . . . . . . 8
12 nfnae 2058 . . . . . . . 8
1311, 12nfan 1928 . . . . . . 7
14 nfv 1707 . . . . . . . 8
15 nfnae 2058 . . . . . . . . . . . . 13
16 nfnae 2058 . . . . . . . . . . . . 13
1715, 16nfan 1928 . . . . . . . . . . . 12
187, 8nfeld 2627 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18nfexd 1952 . . . . . . . . . . 11
20 nfcvf 2644 . . . . . . . . . . . . . 14
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
227, 21nfeld 2627 . . . . . . . . . . . 12
2314, 22nfald 1951 . . . . . . . . . . 11
2419, 23nfimd 1917 . . . . . . . . . 10
2513, 24nfald 1951 . . . . . . . . 9
268, 7nfeld 2627 . . . . . . . . 9
2725, 26nfimd 1917 . . . . . . . 8
2814, 27nfald 1951 . . . . . . 7
2913, 28nfexd 1952 . . . . . 6
3010, 29nfimd 1917 . . . . 5
31 equequ2 1799 . . . . . . . . 9
3231notbid 294 . . . . . . . 8
3332adantl 466 . . . . . . 7
34 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 nfcvf2 2645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
3734, 36nfeqd 2626 . . . . . . . . . . . . . 14
3813, 37nfan1 1927 . . . . . . . . . . . . 13
39 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
40 nfcvf2 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4239, 41nfeqd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4317, 42nfan1 1927 . . . . . . . . . . . . . . 15
44 elequ2 1823 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
4643, 45exbid 1886 . . . . . . . . . . . . . 14
47 biidd 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
495, 22, 48cbvald 2025 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
5146, 50imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13
5238, 51albid 1885 . . . . . . . . . . . 12
53 elequ1 1821 . . . . . . . . . . . . 13
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
5552, 54imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
5655ex 434 . . . . . . . . . 10
575, 27, 56cbvald 2025 . . . . . . . . 9
5813, 57exbid 1886 . . . . . . . 8
5958adantr 465 . . . . . . 7
6033, 59imbi12d 320 . . . . . 6
6160ex 434 . . . . 5
625, 30, 61cbvald 2025 . . . 4
632, 62mpbii 211 . . 3
646319.21bi 1869 . 2
6564ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612  F/_wnfc 2605
This theorem is referenced by:  axpownd  8999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-reg 8039
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032
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