Theorem axpre-lttrn 9564

Description: Ordering on reals is transitive. Axiom 19 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axlttrn 9678. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttrn 9588. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-lttrn

Proof of Theorem axpre-lttrn

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 9529	. 2
2		elreal 9529	. 2
3		elreal 9529	. 2
4		breq1 4455	. . . 4
5	4	anbi1d 704	. . 3
6		breq1 4455	. . 3
7	5, 6	imbi12d 320	. 2
8		breq2 4456	. . . 4
9		breq1 4455	. . . 4
10	8, 9	anbi12d 710	. . 3
11	10	imbi1d 317	. 2
12		breq2 4456	. . . 4
13	12	anbi2d 703	. . 3
14		breq2 4456	. . 3
15	13, 14	imbi12d 320	. 2
16		ltresr 9538	. . . . 5
17		ltresr 9538	. . . . 5
18		ltsosr 9492	. . . . . 6
19		ltrelsr 9466	. . . . . 6
20	18, 19	sotri 5399	. . . . 5
21	16, 17, 20	syl2anb 479	. . . 4
22		ltresr 9538	. . . 4
23	21, 22	sylibr 212	. . 3
24	23	a1i 11	. 2
25	1, 2, 3, 7, 11, 15, 24	3gencl 3141	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035   class class class wbr 4452  cnr 9264  c0r 9265  cltr 9270  cr 9512  cltrr 9517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-plp 9382  df-ltp 9384  df-enr 9454  df-nr 9455  df-ltr 9458  df-0r 9459  df-r 9523  df-lt 9526