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Theorem axpre-sup 9567
Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 22 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version with ordering on extended reals is axsup 9681. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-sup 9591. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-sup
Distinct variable group:   , , ,

Proof of Theorem axpre-sup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal2 9530 . . . . . . 7
21simplbi 460 . . . . . 6
32adantl 466 . . . . 5
4 fo1st 6820 . . . . . . . . . . . 12
5 fof 5800 . . . . . . . . . . . 12
6 ffn 5736 . . . . . . . . . . . 12
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
8 ssv 3523 . . . . . . . . . . 11
9 fvelimab 5929 . . . . . . . . . . 11
107, 8, 9mp2an 672 . . . . . . . . . 10
11 r19.29 2992 . . . . . . . . . . . 12
12 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 ltresr2 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1513, 14sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1615biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1716exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1812, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918imp4b 590 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019ancomsd 454 . . . . . . . . . . . . . 14
2120an32s 804 . . . . . . . . . . . . 13
2221rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . 12
2311, 22syl5 32 . . . . . . . . . . 11
2423expd 436 . . . . . . . . . 10
2510, 24syl7bi 230 . . . . . . . . 9
2625impr 619 . . . . . . . 8
2726adantlr 714 . . . . . . 7
2827ralrimiv 2869 . . . . . 6
2928expr 615 . . . . 5
30 breq2 4456 . . . . . . 7
3130ralbidv 2896 . . . . . 6
3231rspcev 3210 . . . . 5
333, 29, 32syl6an 545 . . . 4
3433rexlimdva 2949 . . 3
35 n0 3794 . . . . . 6
36 fnfvima 6150 . . . . . . . . 9
377, 8, 36mp3an12 1314 . . . . . . . 8
38 ne0i 3790 . . . . . . . 8
3937, 38syl 16 . . . . . . 7
4039exlimiv 1722 . . . . . 6
4135, 40sylbi 195 . . . . 5
42 supsr 9510 . . . . . 6
4342ex 434 . . . . 5
4441, 43syl 16 . . . 4
4544adantl 466 . . 3
46 breq2 4456 . . . . . . . . . . . 12
4746notbid 294 . . . . . . . . . . 11
4847rspccv 3207 . . . . . . . . . 10
4937, 48syl5com 30 . . . . . . . . 9
5049adantl 466 . . . . . . . 8
51 elreal2 9530 . . . . . . . . . . . . 13
5251simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12
5352breq2d 4464 . . . . . . . . . . 11
54 ltresr 9538 . . . . . . . . . . 11
5553, 54syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
5612, 55syl 16 . . . . . . . . 9
5756notbid 294 . . . . . . . 8
5850, 57sylibrd 234 . . . . . . 7
5958ralrimdva 2875 . . . . . 6
6059ad2antrr 725 . . . . 5
6152breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . 14
62 ltresr 9538 . . . . . . . . . . . . . 14
6361, 62syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13
6451simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
66 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6865, 67imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968rspccv 3207 . . . . . . . . . . . . . . 15
7064, 69syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14
7170com3l 81 . . . . . . . . . . . . 13
7263, 71sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12
7372adantr 465 . . . . . . . . . . 11
74 fvelimab 5929 . . . . . . . . . . . . . . . 16
757, 8, 74mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
77 ltresr2 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7876, 77sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
79 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8078, 79sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8180exbiri 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8281expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8382com4r 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584reximdvai 2929 . . . . . . . . . . . . . . 15
8675, 85syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14
8786expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13
8887com23 78 . . . . . . . . . . . 12
8988rexlimdv 2947 . . . . . . . . . . 11
9073, 89syl6d 69 . . . . . . . . . 10
9190com23 78 . . . . . . . . 9
9291ex 434 . . . . . . . 8
9392com3l 81 . . . . . . 7
9493ad2antrr 725 . . . . . 6
9594ralrimdv 2873 . . . . 5
96 opelreal 9528 . . . . . . . 8
9796biimpri 206 . . . . . . 7
9897adantl 466 . . . . . 6
99 breq1 4455 . . . . . . . . . . 11
10099notbid 294 . . . . . . . . . 10
101100ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
102 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
103102imbi1d 317 . . . . . . . . . 10
104103ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
105101, 104anbi12d 710 . . . . . . . 8
106105rspcev 3210 . . . . . . 7
107106ex 434 . . . . . 6
10898, 107syl 16 . . . . 5
10960, 95, 108syl2and 483 . . . 4
110109rexlimdva 2949 . . 3
11134, 45, 1103syld 55 . 2
1121113impia 1193 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593   c1st 6798   cnr 9264   c0r 9265   cltr 9270   cr 9512   cltrr 9517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-plp 9382  df-mp 9383  df-ltp 9384  df-enr 9454  df-nr 9455  df-plr 9456  df-mr 9457  df-ltr 9458  df-0r 9459  df-1r 9460  df-m1r 9461  df-r 9523  df-lt 9526
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