Theorem axregndlem2 9001

Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
axregndlem2

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axregndlem2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axreg2 8040	. . . . . 6
2	1	ax-gen 1618	. . . . 5
3		nfnae 2058	. . . . . . 7
4		nfnae 2058	. . . . . . 7
5	3, 4	nfan 1928	. . . . . 6
6		nfcvd 2620	. . . . . . . 8
7		nfcvf 2644	. . . . . . . . 9
8	7	adantr 465	. . . . . . . 8
9	6, 8	nfeld 2627	. . . . . . 7
10		nfv 1707	. . . . . . . 8
11		nfnae 2058	. . . . . . . . . . 11
12		nfnae 2058	. . . . . . . . . . 11
13	11, 12	nfan 1928	. . . . . . . . . 10
14		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
16	15, 6	nfeld 2627	. . . . . . . . . . 11
17	15, 8	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . 12
18	17	nfnd 1902	. . . . . . . . . . 11
19	16, 18	nfimd 1917	. . . . . . . . . 10
20	13, 19	nfald 1951	. . . . . . . . 9
21	9, 20	nfand 1925	. . . . . . . 8
22	10, 21	nfexd 1952	. . . . . . 7
23	9, 22	nfimd 1917	. . . . . 6
24		simpr 461	. . . . . . . . 9
25	24	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
26		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . . . 15
27		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28	27	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	26, 28	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . . . . 14
30	13, 29	nfan1 1927	. . . . . . . . . . . . 13
31	24	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . 14
32	31	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . 13
33	30, 32	albid 1885	. . . . . . . . . . . 12
34	25, 33	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11
35	34	ex 434	. . . . . . . . . 10
36	5, 21, 35	cbvexd 2026	. . . . . . . . 9
37	36	adantr 465	. . . . . . . 8
38	25, 37	imbi12d 320	. . . . . . 7
39	38	ex 434	. . . . . 6
40	5, 23, 39	cbvald 2025	. . . . 5
41	2, 40	mpbii 211	. . . 4
42	41	19.21bi 1869	. . 3
43	42	ex 434	. 2
44		elirrv 8044	. . . . 5
45		elequ2 1823	. . . . 5
46	44, 45	mtbii 302	. . . 4
47	46	sps 1865	. . 3
48	47	pm2.21d 106	. 2
49		axregndlem1 9000	. 2
50	43, 48, 49	pm2.61ii 165	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612  F/_wnfc 2605

This theorem is referenced by:  axregnd  9002  axregndOLD  9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-reg 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-nul 3785  df-sn 4030  df-pr 4032