MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsup Unicode version

Theorem axsup 9681
Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 22 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-sup 9591 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
axsup
Distinct variable group:   , , ,

Proof of Theorem axsup
StepHypRef Expression
1 ax-pre-sup 9591 . . . 4
213expia 1198 . . 3
3 ssel2 3498 . . . . . . . 8
4 ltxrlt 9676 . . . . . . . 8
53, 4sylan 471 . . . . . . 7
65an32s 804 . . . . . 6
76ralbidva 2893 . . . . 5
87rexbidva 2965 . . . 4
98adantr 465 . . 3
10 ltxrlt 9676 . . . . . . . . . . 11
1110ancoms 453 . . . . . . . . . 10
123, 11sylan 471 . . . . . . . . 9
1312an32s 804 . . . . . . . 8
1413notbid 294 . . . . . . 7
1514ralbidva 2893 . . . . . 6
164ancoms 453 . . . . . . . . 9
1716adantll 713 . . . . . . . 8
18 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . 12
19 ltxrlt 9676 . . . . . . . . . . . . 13
2019ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20sylan 471 . . . . . . . . . . 11
2221an32s 804 . . . . . . . . . 10
2322rexbidva 2965 . . . . . . . . 9
2423adantlr 714 . . . . . . . 8
2517, 24imbi12d 320 . . . . . . 7
2625ralbidva 2893 . . . . . 6
2715, 26anbi12d 710 . . . . 5
2827rexbidva 2965 . . . 4
2928adantr 465 . . 3
302, 9, 293imtr4d 268 . 2
31303impia 1193 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   cr 9512   cltrr 9517   clt 9649
This theorem is referenced by:  dedekind  9765  sup2  10524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654
  Copyright terms: Public domain W3C validator