Theorem axunnd 8992

Description: A version of the Axiom of Union with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axunnd

Proof of Theorem axunnd

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunndlem1 8991	. . . 4
2		nfnae 2058	. . . . . 6
3		nfnae 2058	. . . . . 6
4	2, 3	nfan 1928	. . . . 5
5		nfnae 2058	. . . . . . 7
6		nfnae 2058	. . . . . . 7
7	5, 6	nfan 1928	. . . . . 6
8		nfv 1707	. . . . . . . 8
9		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . 11
10	9	adantr 465	. . . . . . . . . 10
11		nfcvd 2620	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	nfeld 2627	. . . . . . . . 9
13		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . 11
14	13	adantl 466	. . . . . . . . . 10
15	11, 14	nfeld 2627	. . . . . . . . 9
16	12, 15	nfand 1925	. . . . . . . 8
17	8, 16	nfexd 1952	. . . . . . 7
18	17, 12	nfimd 1917	. . . . . 6
19	7, 18	nfald 1951	. . . . 5
20		nfcvd 2620	. . . . . . . . 9
21		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . 10
22	21	adantr 465	. . . . . . . . 9
23	20, 22	nfeqd 2626	. . . . . . . 8
24	7, 23	nfan1 1927	. . . . . . 7
25		elequ2 1823	. . . . . . . . . . . 12
26		elequ1 1821	. . . . . . . . . . . 12
27	25, 26	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10
29	4, 16, 28	cbvexd 2026	. . . . . . . . 9
30	29	adantr 465	. . . . . . . 8
31	25	adantl 466	. . . . . . . 8
32	30, 31	imbi12d 320	. . . . . . 7
33	24, 32	albid 1885	. . . . . 6
34	33	ex 434	. . . . 5
35	4, 19, 34	cbvexd 2026	. . . 4
36	1, 35	mpbii 211	. . 3
37	36	ex 434	. 2
38		nfae 2056	. . . 4
39		nfae 2056	. . . . . 6
40		elirrv 8044	. . . . . . . . 9
41		elequ2 1823	. . . . . . . . 9
42	40, 41	mtbiri 303	. . . . . . . 8
43	42	intnanrd 917	. . . . . . 7
44	43	sps 1865	. . . . . 6
45	39, 44	nexd 1883	. . . . 5
46	45	pm2.21d 106	. . . 4
47	38, 46	alrimi 1877	. . 3
48		19.8a 1857	. . 3
49	47, 48	syl 16	. 2
50		nfae 2056	. . . 4
51		nfae 2056	. . . . . 6
52		elirrv 8044	. . . . . . . . 9
53		elequ1 1821	. . . . . . . . 9
54	52, 53	mtbiri 303	. . . . . . . 8
55	54	intnand 916	. . . . . . 7
56	55	sps 1865	. . . . . 6
57	51, 56	nexd 1883	. . . . 5
58	57	pm2.21d 106	. . . 4
59	50, 58	alrimi 1877	. . 3
60	59, 48	syl 16	. 2
61	37, 49, 60	pm2.61ii 165	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612  F/_wnfc 2605

This theorem is referenced by:  zfcndun  9014  axunprim  29075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-eprel 4796  df-fr 4843