Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5abmN Unicode version

Theorem baerlem5abmN 36214
 Description: An equality that holds when , , are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not be needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v
baerlem3.m
baerlem3.o
baerlem3.s
baerlem3.n
baerlem3.w
baerlem3.x
baerlem3.c
baerlem3.d
baerlem3.y
baerlem3.z
baerlem5a.p
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8
21eldifad 3454 . . . . . . 7
3 baerlem3.z . . . . . . . 8
43eldifad 3454 . . . . . . 7
5 baerlem3.v . . . . . . . 8
6 baerlem5a.p . . . . . . . 8
7 eqid 2454 . . . . . . . 8
8 baerlem3.m . . . . . . . 8
95, 6, 7, 8grpsubval 15740 . . . . . . 7
102, 4, 9syl2anc 661 . . . . . 6
1110oveq2d 6238 . . . . 5
1211sneqd 4005 . . . 4
1312fveq2d 5817 . . 3
14 baerlem3.o . . . 4
15 baerlem3.s . . . 4
16 baerlem3.n . . . 4
17 baerlem3.w . . . 4
18 baerlem3.x . . . 4
19 lveclmod 17363 . . . . . . 7
2017, 19syl 16 . . . . . 6
215, 7lmodvnegcl 17162 . . . . . 6
2220, 4, 21syl2anc 661 . . . . 5
23 eqid 2454 . . . . . . 7
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 17235 . . . . . . 7
25 baerlem3.c . . . . . . 7
265, 14, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 17209 . . . . . 6
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 17389 . . . . . . 7
2827simpld 459 . . . . . 6
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 17374 . . . . 5
30 baerlem3.d . . . . . . . . 9
3130necomd 2724 . . . . . . . 8
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 17374 . . . . . . 7
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 17388 . . . . . 6
34 lmodgrp 17131 . . . . . . . . . 10
3517, 19, 343syl 20 . . . . . . . . 9
3635adantr 465 . . . . . . . 8
374adantr 465 . . . . . . . 8
385, 7grpinvinv 15752 . . . . . . . 8
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . 7
4020adantr 465 . . . . . . . 8
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 17235 . . . . . . . . 9
4241adantr 465 . . . . . . . 8
43 simpr 461 . . . . . . . 8
4423, 7lssvnegcl 17213 . . . . . . . 8
4540, 42, 43, 44syl3anc 1219 . . . . . . 7
4639, 45eqeltrrd 2543 . . . . . 6
4733, 46mtand 659 . . . . 5
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 17388 . . . 4
495, 7, 16lspsnneg 17263 . . . . . 6
5020, 4, 49syl2anc 661 . . . . 5
5130, 50neeqtrrd 2753 . . . 4
525, 14, 7grpinvnzcl 15757 . . . . 5
5335, 3, 52syl2anc 661 . . . 4
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 36210 . . 3
5550oveq2d 6238 . . . 4
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 15758 . . . . . . 7
5756sneqd 4005 . . . . . 6
5857fveq2d 5817 . . . . 5
5958oveq1d 6237 . . . 4
6055, 59ineq12d 3667 . . 3
6113, 54, 603eqtrd 2499 . 2
6210sneqd 4005 . . . 4
6362fveq2d 5817 . . 3
645, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5b 36211 . . 3
6550oveq2d 6238 . . . 4
6610eqcomd 2462 . . . . . . . 8
6766oveq2d 6238 . . . . . . 7
6867sneqd 4005 . . . . . 6
6968fveq2d 5817 . . . . 5
7069oveq1d 6237 . . . 4
7165, 70ineq12d 3667 . . 3
7263, 64, 713eqtrd 2499 . 2
7361, 72jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  \cdif 3439  i^icin 3441  {csn 3993  {cpr 3995  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cbs 14332   cplusg 14397   c0g 14537   cgrp 15569   cminusg 15570   csg 15572   clsm 16294   clmod 17124   clss 17189   clspn 17228   clvec 17359 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-tpos 6879  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-0g 14539  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-sbg 15706  df-subg 15837  df-cntz 15994  df-lsm 16296  df-cmn 16440  df-abl 16441  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-rng 16823  df-oppr 16891  df-dvdsr 16909  df-unit 16910  df-invr 16940  df-drng 17010  df-lmod 17126  df-lss 17190  df-lsp 17229  df-lvec 17360
 Copyright terms: Public domain W3C validator