Theorem baerlem5abmN 36214

Description: An equality that holds when , , are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not be needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v
baerlem3.m
baerlem3.o
baerlem3.s
baerlem3.n
baerlem3.w
baerlem3.x
baerlem3.c
baerlem3.d
baerlem3.y
baerlem3.z
baerlem5a.p

Assertion

Ref	Expression
baerlem5abmN

Proof of Theorem baerlem5abmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.y	. . . . . . . 8
2	1	eldifad 3454	. . . . . . 7
3		baerlem3.z	. . . . . . . 8
4	3	eldifad 3454	. . . . . . 7
5		baerlem3.v	. . . . . . . 8
6		baerlem5a.p	. . . . . . . 8
7		eqid 2454	. . . . . . . 8
8		baerlem3.m	. . . . . . . 8
9	5, 6, 7, 8	grpsubval 15740	. . . . . . 7
10	2, 4, 9	syl2anc 661	. . . . . 6
11	10	oveq2d 6238	. . . . 5
12	11	sneqd 4005	. . . 4
13	12	fveq2d 5817	. . 3
14		baerlem3.o	. . . 4
15		baerlem3.s	. . . 4
16		baerlem3.n	. . . 4
17		baerlem3.w	. . . 4
18		baerlem3.x	. . . 4
19		lveclmod 17363	. . . . . . 7
20	17, 19	syl 16	. . . . . 6
21	5, 7	lmodvnegcl 17162	. . . . . 6
22	20, 4, 21	syl2anc 661	. . . . 5
23		eqid 2454	. . . . . . 7
24	5, 23, 16, 20, 2, 4	lspprcl 17235	. . . . . . 7
25		baerlem3.c	. . . . . . 7
26	5, 14, 23, 20, 24, 18, 25	lssneln0 17209	. . . . . 6
27	5, 16, 17, 18, 2, 4, 25	lspindpi 17389	. . . . . . 7
28	27	simpld 459	. . . . . 6
29	5, 14, 16, 17, 26, 2, 28	lspsnne1 17374	. . . . 5
30		baerlem3.d	. . . . . . . . 9
31	30	necomd 2724	. . . . . . . 8
32	5, 14, 16, 17, 3, 2, 31	lspsnne1 17374	. . . . . . 7
33	5, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25	lspexchn2 17388	. . . . . 6
34		lmodgrp 17131	. . . . . . . . . 10
35	17, 19, 34	3syl 20	. . . . . . . . 9
36	35	adantr 465	. . . . . . . 8
37	4	adantr 465	. . . . . . . 8
38	5, 7	grpinvinv 15752	. . . . . . . 8
39	36, 37, 38	syl2anc 661	. . . . . . 7
40	20	adantr 465	. . . . . . . 8
41	5, 23, 16, 20, 2, 18	lspprcl 17235	. . . . . . . . 9
42	41	adantr 465	. . . . . . . 8
43		simpr 461	. . . . . . . 8
44	23, 7	lssvnegcl 17213	. . . . . . . 8
45	40, 42, 43, 44	syl3anc 1219	. . . . . . 7
46	39, 45	eqeltrrd 2543	. . . . . 6
47	33, 46	mtand 659	. . . . 5
48	5, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47	lspexchn2 17388	. . . 4
49	5, 7, 16	lspsnneg 17263	. . . . . 6
50	20, 4, 49	syl2anc 661	. . . . 5
51	30, 50	neeqtrrd 2753	. . . 4
52	5, 14, 7	grpinvnzcl 15757	. . . . 5
53	35, 3, 52	syl2anc 661	. . . 4
54	5, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6	baerlem5a 36210	. . 3
55	50	oveq2d 6238	. . . 4
56	5, 6, 8, 7, 35, 18, 4	grpsubinv 15758	. . . . . . 7
57	56	sneqd 4005	. . . . . 6
58	57	fveq2d 5817	. . . . 5
59	58	oveq1d 6237	. . . 4
60	55, 59	ineq12d 3667	. . 3
61	13, 54, 60	3eqtrd 2499	. 2
62	10	sneqd 4005	. . . 4
63	62	fveq2d 5817	. . 3
64	5, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6	baerlem5b 36211	. . 3
65	50	oveq2d 6238	. . . 4
66	10	eqcomd 2462	. . . . . . . 8
67	66	oveq2d 6238	. . . . . . 7
68	67	sneqd 4005	. . . . . 6
69	68	fveq2d 5817	. . . . 5
70	69	oveq1d 6237	. . . 4
71	65, 70	ineq12d 3667	. . 3
72	63, 64, 71	3eqtrd 2499	. 2
73	61, 72	jca 532	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  \cdif 3439  i^icin 3441  {csn 3993  {cpr 3995  `cfv 5537  (class class class)co 6222  cbs 14332  cplusg 14397  c0g 14537  cgrp 15569  cminusg 15570  csg 15572  clsm 16294  clmod 17124  clss 17189  clspn 17228  clvec 17359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-tpos 6879  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-0g 14539  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-sbg 15706  df-subg 15837  df-cntz 15994  df-lsm 16296  df-cmn 16440  df-abl 16441  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-rng 16823  df-oppr 16891  df-dvdsr 16909  df-unit 16910  df-invr 16940  df-drng 17010  df-lmod 17126  df-lss 17190  df-lsp 17229  df-lvec 17360