Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5abmN Unicode version

Theorem baerlem5abmN 35644
Description: An equality that holds when , , are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not be needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v
baerlem3.m
baerlem3.o
baerlem3.s
baerlem3.n
baerlem3.w
baerlem3.x
baerlem3.c
baerlem3.d
baerlem3.y
baerlem3.z
baerlem5a.p
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8
21eldifad 3422 . . . . . . 7
3 baerlem3.z . . . . . . . 8
43eldifad 3422 . . . . . . 7
5 baerlem3.v . . . . . . . 8
6 baerlem5a.p . . . . . . . 8
7 eqid 2450 . . . . . . . 8
8 baerlem3.m . . . . . . . 8
95, 6, 7, 8grpsubval 15667 . . . . . . 7
102, 4, 9syl2anc 661 . . . . . 6
1110oveq2d 6190 . . . . 5
1211sneqd 3971 . . . 4
1312fveq2d 5777 . . 3
14 baerlem3.o . . . 4
15 baerlem3.s . . . 4
16 baerlem3.n . . . 4
17 baerlem3.w . . . 4
18 baerlem3.x . . . 4
19 lveclmod 17277 . . . . . . 7
2017, 19syl 16 . . . . . 6
215, 7lmodvnegcl 17076 . . . . . 6
2220, 4, 21syl2anc 661 . . . . 5
23 eqid 2450 . . . . . . 7
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 17149 . . . . . . 7
25 baerlem3.c . . . . . . 7
265, 14, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 17123 . . . . . 6
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 17303 . . . . . . 7
2827simpld 459 . . . . . 6
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 17288 . . . . 5
30 baerlem3.d . . . . . . . . 9
3130necomd 2716 . . . . . . . 8
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 17288 . . . . . . 7
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 17302 . . . . . 6
34 lmodgrp 17045 . . . . . . . . . 10
3517, 19, 343syl 20 . . . . . . . . 9
3635adantr 465 . . . . . . . 8
374adantr 465 . . . . . . . 8
385, 7grpinvinv 15679 . . . . . . . 8
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . 7
4020adantr 465 . . . . . . . 8
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 17149 . . . . . . . . 9
4241adantr 465 . . . . . . . 8
43 simpr 461 . . . . . . . 8
4423, 7lssvnegcl 17127 . . . . . . . 8
4540, 42, 43, 44syl3anc 1219 . . . . . . 7
4639, 45eqeltrrd 2537 . . . . . 6
4733, 46mtand 659 . . . . 5
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 17302 . . . 4
495, 7, 16lspsnneg 17177 . . . . . 6
5020, 4, 49syl2anc 661 . . . . 5
5130, 50neeqtrrd 2745 . . . 4
525, 14, 7grpinvnzcl 15684 . . . . 5
5335, 3, 52syl2anc 661 . . . 4
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 35640 . . 3
5550oveq2d 6190 . . . 4
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 15685 . . . . . . 7
5756sneqd 3971 . . . . . 6
5857fveq2d 5777 . . . . 5
5958oveq1d 6189 . . . 4
6055, 59ineq12d 3635 . . 3
6113, 54, 603eqtrd 2494 . 2
6210sneqd 3971 . . . 4
6362fveq2d 5777 . . 3
645, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5b 35641 . . 3
6550oveq2d 6190 . . . 4
6610eqcomd 2457 . . . . . . . 8
6766oveq2d 6190 . . . . . . 7
6867sneqd 3971 . . . . . 6
6968fveq2d 5777 . . . . 5
7069oveq1d 6189 . . . 4
7165, 70ineq12d 3635 . . 3
7263, 64, 713eqtrd 2494 . 2
7361, 72jca 532 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757  =/=wne 2641  \cdif 3407  i^icin 3409  {csn 3959  {cpr 3961  `cfv 5500  (class class class)co 6174   cbs 14260   cplusg 14324   c0g 14464   cgrp 15496   cminusg 15497   csg 15499   clsm 16221   clmod 17038   clss 17103   clspn 17142   clvec 17273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-cnex 9423  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-int 4211  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-om 6561  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-tpos 6829  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-er 7185  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-nn 10408  df-2 10465  df-3 10466  df-ndx 14263  df-slot 14264  df-base 14265  df-sets 14266  df-ress 14267  df-plusg 14337  df-mulr 14338  df-0g 14466  df-mnd 15501  df-submnd 15551  df-grp 15631  df-minusg 15632  df-sbg 15633  df-subg 15764  df-cntz 15921  df-lsm 16223  df-cmn 16367  df-abl 16368  df-mgp 16681  df-ur 16693  df-rng 16737  df-oppr 16805  df-dvdsr 16823  df-unit 16824  df-invr 16854  df-drng 16924  df-lmod 17040  df-lss 17104  df-lsp 17143  df-lvec 17274
  Copyright terms: Public domain W3C validator