MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basqtop Unicode version

Theorem basqtop 18758
Description: An injection maps bases to bases. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1
Assertion
Ref Expression
basqtop

Proof of Theorem basqtop
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5665 . . . . 5
2 qtopcmp.1 . . . . . . 7
32elqtop2 18748 . . . . . 6
42elqtop2 18748 . . . . . 6
53, 4anbi12d 693 . . . . 5
61, 5sylan2 462 . . . 4
7 simpl1l 1013 . . . . . . . . 9
8 simpl2r 1016 . . . . . . . . 9
9 simpl3r 1018 . . . . . . . . 9
10 simpl1r 1014 . . . . . . . . . . . 12
11 f1ocnv 5670 . . . . . . . . . . . 12
12 f1ofn 5659 . . . . . . . . . . . 12
1310, 11, 123syl 19 . . . . . . . . . . 11
14 simpl2l 1015 . . . . . . . . . . 11
15 inss1 3606 . . . . . . . . . . . 12
16 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16sseldi 3391 . . . . . . . . . . 11
18 fnfvima 5969 . . . . . . . . . . 11
1913, 14, 17, 18syl3anc 1192 . . . . . . . . . 10
20 simpl3l 1017 . . . . . . . . . . 11
21 inss2 3607 . . . . . . . . . . . 12
2221, 16sseldi 3391 . . . . . . . . . . 11
23 fnfvima 5969 . . . . . . . . . . 11
2413, 20, 22, 23syl3anc 1192 . . . . . . . . . 10
25 elin 3576 . . . . . . . . . 10
2619, 24, 25sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
27 basis2 18030 . . . . . . . . 9
287, 8, 9, 26, 27syl22anc 1193 . . . . . . . 8
2910adantr 453 . . . . . . . . . . 11
30 simp2l 988 . . . . . . . . . . . . . 14
3115, 30syl5ss 3404 . . . . . . . . . . . . 13
3231sselda 3393 . . . . . . . . . . . 12
3332adantr 453 . . . . . . . . . . 11
34 f1ocnvfv2 5996 . . . . . . . . . . 11
3529, 33, 34syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
36 f1ofn 5659 . . . . . . . . . . . 12
3729, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11
38 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . 13
39 inss1 3606 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39syl6ss 3405 . . . . . . . . . . . 12
41 cnvimass 5212 . . . . . . . . . . . . 13
42 f1odm 5662 . . . . . . . . . . . . . 14
4329, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4441, 43syl5sseq 3441 . . . . . . . . . . . 12
4540, 44sstrd 3403 . . . . . . . . . . 11
46 simprrl 742 . . . . . . . . . . 11
47 fnfvima 5969 . . . . . . . . . . 11
4837, 45, 46, 47syl3anc 1192 . . . . . . . . . 10
4935, 48eqeltrrd 2564 . . . . . . . . 9
50 imassrn 5203 . . . . . . . . . . . 12
5129, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
52 forn 5640 . . . . . . . . . . . . 13
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5450, 53syl5sseq 3441 . . . . . . . . . . 11
55 f1of1 5657 . . . . . . . . . . . . . 14
5629, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
57 f1imacnv 5674 . . . . . . . . . . . . 13
5856, 45, 57syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
59 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12
6058, 59eqeltrd 2563 . . . . . . . . . . 11
617adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
622elqtop2 18748 . . . . . . . . . . . 12
6361, 51, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
6454, 60, 63mpbir2and 890 . . . . . . . . . 10
65 fnfun 5526 . . . . . . . . . . . . . 14
66 inpreima 5846 . . . . . . . . . . . . . 14
6737, 65, 663syl 19 . . . . . . . . . . . . 13
6838, 67sseqtr4d 3430 . . . . . . . . . . . 12
6937, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7040, 41syl6ss 3405 . . . . . . . . . . . . 13
71 funimass3 5835 . . . . . . . . . . . . 13
7269, 70, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
7368, 72mpbird 225 . . . . . . . . . . 11
74 vex 3018 . . . . . . . . . . . . 13
7574inex1 4459 . . . . . . . . . . . 12
7675elpw2 4479 . . . . . . . . . . 11
7773, 76sylibr 205 . . . . . . . . . 10
78 elin 3576 . . . . . . . . . 10
7964, 77, 78sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
80 elunii 4122 . . . . . . . . 9
8149, 79, 80syl2anc 644 . . . . . . . 8
8228, 81rexlimddv 2888 . . . . . . 7
8382ex 425 . . . . . 6
8483ssrdv 3399 . . . . 5
85843expib 1164 . . . 4
866, 85sylbid 208 . . 3
8786ralrimivv 2851 . 2
88 ovex 6128 . . 3
89 isbasisg 18026 . . 3
9088, 89ax-mp 5 . 2
9187, 90sylibr 205 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 939  =wceq 1670  e.wcel 1732  A.wral 2759  E.wrex 2760   cvv 3015  i^icin 3364  C_wss 3365  ~Pcpw 3893  U.cuni 4117  `'ccnv 4861  domcdm 4862  rancrn 4863  "cima 4865  Funwfun 5432  Fnwfn 5433  -1-1->wf1 5435  -onto->wfo 5436  -1-1-onto->wf1o 5437  `cfv 5438  (class class class)co 6103   cqtop 14283   ctb 17976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-rep 4429  ax-sep 4439  ax-nul 4447  ax-pow 4493  ax-pr 4554  ax-un 6382
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-sb 1677  df-eu 2317  df-mo 2318  df-clab 2476  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614  df-ne 2654  df-ral 2764  df-rex 2765  df-reu 2766  df-rab 2768  df-v 3017  df-sbc 3225  df-csb 3326  df-dif 3368  df-un 3370  df-in 3372  df-ss 3379  df-nul 3674  df-if 3826  df-pw 3895  df-sn 3915  df-pr 3916  df-op 3918  df-uni 4118  df-iun 4199  df-br 4319  df-opab 4377  df-mpt 4378  df-id 4657  df-xp 4868  df-rel 4869  df-cnv 4870  df-co 4871  df-dm 4872  df-rn 4873  df-res 4874  df-ima 4875  df-iota 5401  df-fun 5440  df-fn 5441  df-f 5442  df-f1 5443  df-fo 5444  df-f1o 5445  df-fv 5446  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-qtop 14287  df-bases 17979
  Copyright terms: Public domain W3C validator