MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bccl Unicode version

Theorem bccl 12400
Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bccl

Proof of Theorem bccl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . . 5
21eleq1d 2526 . . . 4
32ralbidv 2896 . . 3
4 oveq1 6303 . . . . 5
54eleq1d 2526 . . . 4
65ralbidv 2896 . . 3
7 oveq1 6303 . . . . 5
87eleq1d 2526 . . . 4
98ralbidv 2896 . . 3
10 oveq1 6303 . . . . 5
1110eleq1d 2526 . . . 4
1211ralbidv 2896 . . 3
13 elfz1eq 11726 . . . . . . 7
1413adantl 466 . . . . . 6
15 oveq2 6304 . . . . . . 7
16 0nn0 10835 . . . . . . . . 9
17 bcn0 12388 . . . . . . . . 9
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8
19 1nn0 10836 . . . . . . . 8
2018, 19eqeltri 2541 . . . . . . 7
2115, 20syl6eqel 2553 . . . . . 6
2214, 21syl 16 . . . . 5
23 bcval3 12384 . . . . . . 7
2416, 23mp3an1 1311 . . . . . 6
2524, 16syl6eqel 2553 . . . . 5
2622, 25pm2.61dan 791 . . . 4
2726rgen 2817 . . 3
28 oveq2 6304 . . . . . 6
2928eleq1d 2526 . . . . 5
3029cbvralv 3084 . . . 4
31 bcpasc 12399 . . . . . . . 8
3231adantlr 714 . . . . . . 7
33 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
3433eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
3534rspccva 3209 . . . . . . . . 9
36 peano2zm 10932 . . . . . . . . . 10
37 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
3837eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
3938rspccva 3209 . . . . . . . . . 10
4036, 39sylan2 474 . . . . . . . . 9
4135, 40nn0addcld 10881 . . . . . . . 8
4241adantll 713 . . . . . . 7
4332, 42eqeltrrd 2546 . . . . . 6
4443ralrimiva 2871 . . . . 5
4544ex 434 . . . 4
4630, 45syl5bi 217 . . 3
473, 6, 9, 12, 27, 46nn0ind 10984 . 2
48 oveq2 6304 . . . 4
4948eleq1d 2526 . . 3
5049rspccva 3209 . 2
5147, 50sylan 471 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cn0 10820   cz 10889   cfz 11701   cbc 12380
This theorem is referenced by:  bccl2  12401  bcn2m1  12402  bcn2p1  12403  binomlem  13641  bcxmas  13647  srgbinomlem3  17193  srgbinomlem4  17194  srgbinomlem  17195  chpscmatgsummon  19346  basellem2  23355  basellem3  23356  basellem5  23358  chtublem  23486  bcmono  23552  bcp1ctr  23554  bclbnd  23555  binomfallfaclem1  29161  binomfallfaclem2  29162  binomrisefac  29164  bpolycl  29814  bpolysum  29815  bpolydiflem  29816  bpoly4  29821  jm2.22  30937  jm2.23  30938  bccld  31520  altgsumbc  32941  altgsumbcALT  32942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-fac 12354  df-bc 12381
  Copyright terms: Public domain W3C validator