MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcm1k Unicode version

Theorem bcm1k 12393
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 11720 . . . . . . . . 9
2 nnuz 11145 . . . . . . . . 9
31, 2syl6eleqr 2556 . . . . . . . 8
43nnnn0d 10877 . . . . . . 7
5 faccl 12363 . . . . . . 7
64, 5syl 16 . . . . . 6
76nncnd 10577 . . . . 5
8 fznn0sub 11745 . . . . . . 7
9 nn0p1nn 10860 . . . . . . 7
108, 9syl 16 . . . . . 6
1110nncnd 10577 . . . . 5
1210nnnn0d 10877 . . . . . . . 8
13 faccl 12363 . . . . . . . 8
1412, 13syl 16 . . . . . . 7
15 elfznn 11743 . . . . . . . 8
16 nnm1nn0 10862 . . . . . . . 8
17 faccl 12363 . . . . . . . 8
1815, 16, 173syl 20 . . . . . . 7
1914, 18nnmulcld 10608 . . . . . 6
20 nncn 10569 . . . . . . 7
21 nnne0 10593 . . . . . . 7
2220, 21jca 532 . . . . . 6
2319, 22syl 16 . . . . 5
2415nncnd 10577 . . . . . 6
2515nnne0d 10605 . . . . . 6
2624, 25jca 532 . . . . 5
27 divmuldiv 10269 . . . . 5
287, 11, 23, 26, 27syl22anc 1229 . . . 4
29 elfzel2 11715 . . . . . . . . . 10
3029zcnd 10995 . . . . . . . . 9
31 1cnd 9633 . . . . . . . . 9
3230, 24, 31subsubd 9982 . . . . . . . 8
3332fveq2d 5875 . . . . . . 7
3433oveq1d 6311 . . . . . 6
3534oveq2d 6312 . . . . 5
3632oveq1d 6311 . . . . 5
3735, 36oveq12d 6314 . . . 4
38 facp1 12358 . . . . . . . . 9
398, 38syl 16 . . . . . . . 8
4039eqcomd 2465 . . . . . . 7
41 facnn2 12362 . . . . . . . 8
4215, 41syl 16 . . . . . . 7
4340, 42oveq12d 6314 . . . . . 6
44 faccl 12363 . . . . . . . . 9
458, 44syl 16 . . . . . . . 8
4645nncnd 10577 . . . . . . 7
4715nnnn0d 10877 . . . . . . . . 9
48 faccl 12363 . . . . . . . . 9
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8
5049nncnd 10577 . . . . . . 7
5146, 50, 11mul32d 9811 . . . . . 6
5214nncnd 10577 . . . . . . 7
5318nncnd 10577 . . . . . . 7
5452, 53, 24mulassd 9640 . . . . . 6
5543, 51, 543eqtr4d 2508 . . . . 5
5655oveq2d 6312 . . . 4
5728, 37, 563eqtr4d 2508 . . 3
587, 11mulcomd 9638 . . . 4
5945, 49nnmulcld 10608 . . . . . 6
6059nncnd 10577 . . . . 5
6160, 11mulcomd 9638 . . . 4
6258, 61oveq12d 6314 . . 3
6359nnne0d 10605 . . . 4
6410nnne0d 10605 . . . 4
657, 60, 11, 63, 64divcan5d 10371 . . 3
6657, 62, 653eqtrrd 2503 . 2
67 0p1e1 10672 . . . . . 6
6867oveq1i 6306 . . . . 5
69 0z 10900 . . . . . 6
70 fzp1ss 11760 . . . . . 6
7169, 70ax-mp 5 . . . . 5
7268, 71eqsstr3i 3534 . . . 4
7372sseli 3499 . . 3
74 bcval2 12383 . . 3
7573, 74syl 16 . 2
76 ax-1cn 9571 . . . . . . . 8
77 npcan 9852 . . . . . . . 8
7830, 76, 77sylancl 662 . . . . . . 7
79 peano2zm 10932 . . . . . . . 8
80 uzid 11124 . . . . . . . 8
81 peano2uz 11163 . . . . . . . 8
8229, 79, 80, 814syl 21 . . . . . . 7
8378, 82eqeltrrd 2546 . . . . . 6
84 fzss2 11752 . . . . . 6
8583, 84syl 16 . . . . 5
86 elfzmlbm 11813 . . . . 5
8785, 86sseldd 3504 . . . 4
88 bcval2 12383 . . . 4
8987, 88syl 16 . . 3
9089oveq1d 6311 . 2
9166, 75, 903eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  C_wss 3475  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfa 12353   cbc 12380
This theorem is referenced by:  bcp1nk  12395  bcpasc  12399  basellem5  23358  bpolydiflem  29816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108  df-fac 12354  df-bc 12381
  Copyright terms: Public domain W3C validator