MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1nk Unicode version

Theorem bcp1nk 12395
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with and increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bcp1nk

Proof of Theorem bcp1nk
StepHypRef Expression
1 elfzel1 11716 . . . . . 6
2 elfzel2 11715 . . . . . 6
3 elfzelz 11717 . . . . . 6
4 1zzd 10920 . . . . . 6
5 fzaddel 11747 . . . . . 6
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1229 . . . . 5
76ibi 241 . . . 4
8 1e0p1 11032 . . . . 5
98oveq1i 6306 . . . 4
107, 9syl6eleqr 2556 . . 3
11 bcm1k 12393 . . 3
1210, 11syl 16 . 2
133zcnd 10995 . . . . . . 7
14 ax-1cn 9571 . . . . . . 7
15 pncan 9849 . . . . . . 7
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . 6
1716oveq2d 6312 . . . . 5
18 bcp1n 12394 . . . . 5
1917, 18eqtrd 2498 . . . 4
2016oveq2d 6312 . . . . 5
2120oveq1d 6311 . . . 4
2219, 21oveq12d 6314 . . 3
23 bcrpcl 12386 . . . . . 6
2423rpcnd 11287 . . . . 5
252peano2zd 10997 . . . . . . . 8
2625zred 10994 . . . . . . 7
273zred 10994 . . . . . . . . 9
282zred 10994 . . . . . . . . 9
29 elfzle2 11719 . . . . . . . . 9
3028ltp1d 10501 . . . . . . . . 9
3127, 28, 26, 29, 30lelttrd 9761 . . . . . . . 8
32 znnsub 10935 . . . . . . . . 9
333, 25, 32syl2anc 661 . . . . . . . 8
3431, 33mpbid 210 . . . . . . 7
3526, 34nndivred 10609 . . . . . 6
3635recnd 9643 . . . . 5
3734nnred 10576 . . . . . . 7
38 elfznn0 11800 . . . . . . . 8
39 nn0p1nn 10860 . . . . . . . 8
4038, 39syl 16 . . . . . . 7
4137, 40nndivred 10609 . . . . . 6
4241recnd 9643 . . . . 5
4324, 36, 42mulassd 9640 . . . 4
4425zcnd 10995 . . . . . 6
4534nncnd 10577 . . . . . 6
4640nncnd 10577 . . . . . 6
4734nnne0d 10605 . . . . . 6
4840nnne0d 10605 . . . . . 6
4944, 45, 46, 47, 48dmdcan2d 10375 . . . . 5
5049oveq2d 6312 . . . 4
5143, 50eqtrd 2498 . . 3
5222, 51eqtrd 2498 . 2
5312, 52eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cfz 11701   cbc 12380
This theorem is referenced by:  sylow1lem1  16618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-fac 12354  df-bc 12381
  Copyright terms: Public domain W3C validator