Theorem bcval4 12385

Description: Value of the binomial coefficient, choose , outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval4

Proof of Theorem bcval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 11718	. . . . . . . . 9
2		0re 9617	. . . . . . . . . 10
3		elfzelz 11717	. . . . . . . . . . 11
4	3	zred 10994	. . . . . . . . . 10
5		lenlt 9684	. . . . . . . . . 10
6	2, 4, 5	sylancr 663	. . . . . . . . 9
7	1, 6	mpbid 210	. . . . . . . 8
8	7	adantl 466	. . . . . . 7
9		elfzle2 11719	. . . . . . . . 9
10	9	adantl 466	. . . . . . . 8
11		nn0re 10829	. . . . . . . . 9
12		lenlt 9684	. . . . . . . . 9
13	4, 11, 12	syl2anr 478	. . . . . . . 8
14	10, 13	mpbid 210	. . . . . . 7
15		ioran 490	. . . . . . 7
16	8, 14, 15	sylanbrc 664	. . . . . 6
17	16	ex 434	. . . . 5
18	17	adantr 465	. . . 4
19	18	con2d 115	. . 3
20	19	3impia 1193	. 2
21		bcval3 12384	. 2
22	20, 21	syld3an3 1273	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  clt 9649  cle 9650  cn0 10820  cz 10889  cfz 11701  cbc 12380

This theorem is referenced by:  bc0k  12389  bcn1  12391  bcpasc  12399  hashf1  12506  ram0  14540  srgbinomlem3  17193  srgbinomlem4  17194  basellem2  23355  bcmono  23552  cusgrasizeindb1  24471  binomfallfaclem2  29162  altgsumbcALT  32942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-xr 9653  df-le 9655  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-bc 12381