MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval5 Unicode version

Theorem bcval5 12035
Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (N )=(N (N 1) ((N ) 1)) explicitly. In this form, it is valid even for , although it is no longer valid for non-positive . (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcval5

Proof of Theorem bcval5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 12022 . . . 4
21adantl 456 . . 3
3 mulcl 9312 . . . . . . . . 9
43adantl 456 . . . . . . . 8
5 mulass 9316 . . . . . . . . 9
65adantl 456 . . . . . . . 8
7 simplr 739 . . . . . . . . . . . . 13
8 elfzuz3 11394 . . . . . . . . . . . . . 14
98adantl 456 . . . . . . . . . . . . 13
10 eluznn 10870 . . . . . . . . . . . . 13
117, 9, 10syl2anc 646 . . . . . . . . . . . 12
1211adantrr 701 . . . . . . . . . . 11
13 simplr 739 . . . . . . . . . . 11
14 nnre 10275 . . . . . . . . . . . 12
15 nnrp 10945 . . . . . . . . . . . 12
16 ltsubrp 10967 . . . . . . . . . . . 12
1714, 15, 16syl2an 467 . . . . . . . . . . 11
1812, 13, 17syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
1912nnzd 10691 . . . . . . . . . . . 12
20 nnz 10613 . . . . . . . . . . . . 13
2120ad2antlr 711 . . . . . . . . . . . 12
2219, 21zsubcld 10697 . . . . . . . . . . 11
23 zltp1le 10639 . . . . . . . . . . 11
2422, 19, 23syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
2518, 24mpbid 204 . . . . . . . . 9
2622peano2zd 10695 . . . . . . . . . 10
27 eluz 10819 . . . . . . . . . 10
2826, 19, 27syl2anc 646 . . . . . . . . 9
2925, 28mpbird 226 . . . . . . . 8
30 simprr 741 . . . . . . . . 9
31 nnuz 10841 . . . . . . . . 9
3230, 31syl6eleq 2512 . . . . . . . 8
33 fvi 5718 . . . . . . . . . 10
34 elfzelz 11397 . . . . . . . . . . 11
3534zcnd 10693 . . . . . . . . . 10
3633, 35eqeltrd 2496 . . . . . . . . 9
3736adantl 456 . . . . . . . 8
384, 6, 29, 32, 37seqsplit 11780 . . . . . . 7
39 facnn 11994 . . . . . . . 8
4012, 39syl 16 . . . . . . 7
41 facnn 11994 . . . . . . . . 9
4230, 41syl 16 . . . . . . . 8
4342oveq1d 6076 . . . . . . 7
4438, 40, 433eqtr4d 2464 . . . . . 6
4544expr 602 . . . . 5
46 simpll 738 . . . . . . . . 9
47 faccl 12002 . . . . . . . . 9
48 nncn 10276 . . . . . . . . 9
4946, 47, 483syl 19 . . . . . . . 8
5049mulid2d 9350 . . . . . . 7
5111, 39syl 16 . . . . . . . 8
5251oveq2d 6077 . . . . . . 7
5350, 52eqtr3d 2456 . . . . . 6
54 fveq2 5661 . . . . . . . . 9
55 fac0 11995 . . . . . . . . 9
5654, 55syl6eq 2470 . . . . . . . 8
57 oveq1 6068 . . . . . . . . . . 11
58 0p1e1 10379 . . . . . . . . . . 11
5957, 58syl6eq 2470 . . . . . . . . . 10
6059seqeq1d 11753 . . . . . . . . 9
6160fveq1d 5663 . . . . . . . 8
6256, 61oveq12d 6079 . . . . . . 7
6362eqeq2d 2433 . . . . . 6
6453, 63syl5ibrcom 216 . . . . 5
65 fznn0sub 11431 . . . . . . 7
6665adantl 456 . . . . . 6
67 elnn0 10527 . . . . . 6
6866, 67sylib 190 . . . . 5
6945, 64, 68mpjaod 374 . . . 4
7069oveq1d 6076 . . 3
71 eqid 2422 . . . . . 6
72 nn0z 10614 . . . . . . . . 9
73 zsubcl 10632 . . . . . . . . 9
7472, 20, 73syl2an 467 . . . . . . . 8
7574peano2zd 10695 . . . . . . 7
7675adantr 455 . . . . . 6
77 fvi 5718 . . . . . . . 8
78 eluzelz 10815 . . . . . . . . 9
7978zcnd 10693 . . . . . . . 8
8077, 79eqeltrd 2496 . . . . . . 7
8180adantl 456 . . . . . 6
823adantl 456 . . . . . 6
8371, 76, 81, 82seqf 11768 . . . . 5
8411, 7, 17syl2anc 646 . . . . . . 7
8574adantr 455 . . . . . . . 8
8611nnzd 10691 . . . . . . . 8
8785, 86, 23syl2anc 646 . . . . . . 7
8884, 87mpbid 204 . . . . . 6
8976, 86, 27syl2anc 646 . . . . . 6
9088, 89mpbird 226 . . . . 5
9183, 90ffvelrnd 5814 . . . 4
92 elfznn0 11425 . . . . . . 7
9392adantl 456 . . . . . 6
94 faccl 12002 . . . . . 6
9593, 94syl 16 . . . . 5
9695nncnd 10284 . . . 4
97 faccl 12002 . . . . . 6
9866, 97syl 16 . . . . 5
9998nncnd 10284 . . . 4
10095nnne0d 10312 . . . 4
10198nnne0d 10312 . . . 4
10291, 96, 99, 100, 101divcan5d 10079 . . 3
1032, 70, 1023eqtrd 2458 . 2
104 nnnn0 10532 . . . . 5
105104ad2antlr 711 . . . 4
106 nncn 10276 . . . . 5
107 nnne0 10300 . . . . 5
108106, 107div0d 10052 . . . 4
109105, 94, 1083syl 19 . . 3
1103adantl 456 . . . . 5
111 fvi 5718 . . . . . . 7
112 elfzelz 11397 . . . . . . . 8
113112zcnd 10693 . . . . . . 7
114111, 113eqeltrd 2496 . . . . . 6
115114adantl 456 . . . . 5
116 mul02 9493 . . . . . 6
117116adantl 456 . . . . 5
118 mul01 9494 . . . . . 6
119118adantl 456 . . . . 5
120 simpr 451 . . . . . . . . 9
121 nn0uz 10840 . . . . . . . . . . . 12
122105, 121syl6eleq 2512 . . . . . . . . . . 11
12372ad2antrr 710 . . . . . . . . . . 11
124 elfz5 11389 . . . . . . . . . . 11
125122, 123, 124syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
126 nn0re 10534 . . . . . . . . . . . 12
127126ad2antrr 710 . . . . . . . . . . 11
128 nnre 10275 . . . . . . . . . . . 12
129128ad2antlr 711 . . . . . . . . . . 11
130127, 129subge0d 9875 . . . . . . . . . 10
131125, 130bitr4d 250 . . . . . . . . 9
132120, 131mtbid 294 . . . . . . . 8
13374adantr 455 . . . . . . . . . 10
134133zred 10692 . . . . . . . . 9
135 0re 9332 . . . . . . . . 9
136 ltnle 9400 . . . . . . . . 9
137134, 135, 136sylancl 647 . . . . . . . 8
138132, 137mpbird 226 . . . . . . 7
139 0z 10602 . . . . . . . 8
140 zltp1le 10639 . . . . . . . 8
141133, 139, 140sylancl 647 . . . . . . 7
142138, 141mpbid 204 . . . . . 6
143 nn0ge0 10551 . . . . . . 7
144143ad2antrr 710 . . . . . 6
145 0zd 10603 . . . . . . 7
14675adantr 455 . . . . . . 7
147 elfz 11387 . . . . . . 7
148145, 146, 123, 147syl3anc 1203 . . . . . 6
149142, 144, 148mpbir2and 898 . . . . 5
150 simpll 738 . . . . 5
151 0cn 9324 . . . . . 6
152 fvi 5718 . . . . . 6
153151, 152mp1i 12 . . . . 5
154110, 115, 117, 119, 149, 150, 153seqz 11795 . . . 4
155154oveq1d 6076 . . 3
156 bcval3 12023 . . . . 5
15720, 156syl3an2 1237 . . . 4
1581573expa 1172 . . 3
159109, 155, 1583eqtr4rd 2465 . 2
160103, 159pm2.61dan 774 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 361  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749   class class class wbr 4267   cid 4602  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   clt 9364   cle 9365   cmin 9541   cdiv 9939   cn 10268   cn0 10525   cz 10591   cuz 10806   crp 10936   cfz 11381  seqcseq 11747   cfa 11992   cbc 12019
This theorem is referenced by:  bcn2  12036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-fz 11382  df-seq 11748  df-fac 11993  df-bc 12020
  Copyright terms: Public domain W3C validator