Theorem bcval5 12396

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (N)=(N(N1)((N)1)) explicitly. In this form, it is valid even for , although it is no longer valid for nonpositive . (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcval5

Proof of Theorem bcval5

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 12383	. . . 4
2	1	adantl 466	. . 3
3		mulcl 9597	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 466	. . . . . . . 8
5		mulass 9601	. . . . . . . . 9
6	5	adantl 466	. . . . . . . 8
7		simplr 755	. . . . . . . . . . . . 13
8		elfzuz3 11714	. . . . . . . . . . . . . 14
9	8	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
10		eluznn 11181	. . . . . . . . . . . . 13
11	7, 9, 10	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
12	11	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11
13		simplr 755	. . . . . . . . . . 11
14		nnre 10568	. . . . . . . . . . . 12
15		nnrp 11258	. . . . . . . . . . . 12
16		ltsubrp 11280	. . . . . . . . . . . 12
17	14, 15, 16	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
18	12, 13, 17	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
19	12	nnzd 10993	. . . . . . . . . . . 12
20		nnz 10911	. . . . . . . . . . . . 13
21	20	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12
22	19, 21	zsubcld 10999	. . . . . . . . . . 11
23		zltp1le 10938	. . . . . . . . . . 11
24	22, 19, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
25	18, 24	mpbid 210	. . . . . . . . 9
26	22	peano2zd 10997	. . . . . . . . . 10
27		eluz 11123	. . . . . . . . . 10
28	26, 19, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
29	25, 28	mpbird 232	. . . . . . . 8
30		simprr 757	. . . . . . . . 9
31		nnuz 11145	. . . . . . . . 9
32	30, 31	syl6eleq 2555	. . . . . . . 8
33		fvi 5930	. . . . . . . . . 10
34		elfzelz 11717	. . . . . . . . . . 11
35	34	zcnd 10995	. . . . . . . . . 10
36	33, 35	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9
37	36	adantl 466	. . . . . . . 8
38	4, 6, 29, 32, 37	seqsplit 12140	. . . . . . 7
39		facnn 12355	. . . . . . . 8
40	12, 39	syl 16	. . . . . . 7
41		facnn 12355	. . . . . . . . 9
42	30, 41	syl 16	. . . . . . . 8
43	42	oveq1d 6311	. . . . . . 7
44	38, 40, 43	3eqtr4d 2508	. . . . . 6
45	44	expr 615	. . . . 5
46		simpll 753	. . . . . . . . 9
47		faccl 12363	. . . . . . . . 9
48		nncn 10569	. . . . . . . . 9
49	46, 47, 48	3syl 20	. . . . . . . 8
50	49	mulid2d 9635	. . . . . . 7
51	11, 39	syl 16	. . . . . . . 8
52	51	oveq2d 6312	. . . . . . 7
53	50, 52	eqtr3d 2500	. . . . . 6
54		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
55		fac0 12356	. . . . . . . . 9
56	54, 55	syl6eq 2514	. . . . . . . 8
57		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11
58		0p1e1 10672	. . . . . . . . . . 11
59	57, 58	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10
60	59	seqeq1d 12113	. . . . . . . . 9
61	60	fveq1d 5873	. . . . . . . 8
62	56, 61	oveq12d 6314	. . . . . . 7
63	62	eqeq2d 2471	. . . . . 6
64	53, 63	syl5ibrcom 222	. . . . 5
65		fznn0sub 11745	. . . . . . 7
66	65	adantl 466	. . . . . 6
67		elnn0 10822	. . . . . 6
68	66, 67	sylib 196	. . . . 5
69	45, 64, 68	mpjaod 381	. . . 4
70	69	oveq1d 6311	. . 3
71		eqid 2457	. . . . . 6
72		nn0z 10912	. . . . . . . . 9
73		zsubcl 10931	. . . . . . . . 9
74	72, 20, 73	syl2an 477	. . . . . . . 8
75	74	peano2zd 10997	. . . . . . 7
76	75	adantr 465	. . . . . 6
77		fvi 5930	. . . . . . . 8
78		eluzelcn 11121	. . . . . . . 8
79	77, 78	eqeltrd 2545	. . . . . . 7
80	79	adantl 466	. . . . . 6
81	3	adantl 466	. . . . . 6
82	71, 76, 80, 81	seqf 12128	. . . . 5
83	11, 7, 17	syl2anc 661	. . . . . . 7
84	74	adantr 465	. . . . . . . 8
85	11	nnzd 10993	. . . . . . . 8
86	84, 85, 23	syl2anc 661	. . . . . . 7
87	83, 86	mpbid 210	. . . . . 6
88	76, 85, 27	syl2anc 661	. . . . . 6
89	87, 88	mpbird 232	. . . . 5
90	82, 89	ffvelrnd 6032	. . . 4
91		elfznn0 11800	. . . . . . 7
92	91	adantl 466	. . . . . 6
93		faccl 12363	. . . . . 6
94	92, 93	syl 16	. . . . 5
95	94	nncnd 10577	. . . 4
96		faccl 12363	. . . . . 6
97	66, 96	syl 16	. . . . 5
98	97	nncnd 10577	. . . 4
99	94	nnne0d 10605	. . . 4
100	97	nnne0d 10605	. . . 4
101	90, 95, 98, 99, 100	divcan5d 10371	. . 3
102	2, 70, 101	3eqtrd 2502	. 2
103		nnnn0 10827	. . . . 5
104	103	ad2antlr 726	. . . 4
105		nncn 10569	. . . . 5
106		nnne0 10593	. . . . 5
107	105, 106	div0d 10344	. . . 4
108	104, 93, 107	3syl 20	. . 3
109	3	adantl 466	. . . . 5
110		fvi 5930	. . . . . . 7
111		elfzelz 11717	. . . . . . . 8
112	111	zcnd 10995	. . . . . . 7
113	110, 112	eqeltrd 2545	. . . . . 6
114	113	adantl 466	. . . . 5
115		mul02 9779	. . . . . 6
116	115	adantl 466	. . . . 5
117		mul01 9780	. . . . . 6
118	117	adantl 466	. . . . 5
119		simpr 461	. . . . . . . . 9
120		nn0uz 11144	. . . . . . . . . . . 12
121	104, 120	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . 11
122	72	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
123		elfz5 11709	. . . . . . . . . . 11
124	121, 122, 123	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
125		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . 12
126	125	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
127		nnre 10568	. . . . . . . . . . . 12
128	127	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11
129	126, 128	subge0d 10167	. . . . . . . . . 10
130	124, 129	bitr4d 256	. . . . . . . . 9
131	119, 130	mtbid 300	. . . . . . . 8
132	74	adantr 465	. . . . . . . . . 10
133	132	zred 10994	. . . . . . . . 9
134		0re 9617	. . . . . . . . 9
135		ltnle 9685	. . . . . . . . 9
136	133, 134, 135	sylancl 662	. . . . . . . 8
137	131, 136	mpbird 232	. . . . . . 7
138		0z 10900	. . . . . . . 8
139		zltp1le 10938	. . . . . . . 8
140	132, 138, 139	sylancl 662	. . . . . . 7
141	137, 140	mpbid 210	. . . . . 6
142		nn0ge0 10846	. . . . . . 7
143	142	ad2antrr 725	. . . . . 6
144		0zd 10901	. . . . . . 7
145	75	adantr 465	. . . . . . 7
146		elfz 11707	. . . . . . 7
147	144, 145, 122, 146	syl3anc 1228	. . . . . 6
148	141, 143, 147	mpbir2and 922	. . . . 5
149		simpll 753	. . . . 5
150		0cn 9609	. . . . . 6
151		fvi 5930	. . . . . 6
152	150, 151	mp1i 12	. . . . 5
153	109, 114, 116, 118, 148, 149, 152	seqz 12155	. . . 4
154	153	oveq1d 6311	. . 3
155		bcval3 12384	. . . . 5
156	20, 155	syl3an2 1262	. . . 4
157	156	3expa 1196	. . 3
158	108, 154, 157	3eqtr4rd 2509	. 2
159	102, 158	pm2.61dan 791	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  cid 4795  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  crp 11249  cfz 11701  seqcseq 12107  cfa 12353  cbc 12380

This theorem is referenced by:  bcn2  12397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-fac 12354  df-bc 12381