MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval5 Unicode version

Theorem bcval5 12396
Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (N )=(N (N 1) ((N ) 1)) explicitly. In this form, it is valid even for , although it is no longer valid for nonpositive . (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcval5

Proof of Theorem bcval5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 12383 . . . 4
21adantl 466 . . 3
3 mulcl 9597 . . . . . . . . 9
43adantl 466 . . . . . . . 8
5 mulass 9601 . . . . . . . . 9
65adantl 466 . . . . . . . 8
7 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13
8 elfzuz3 11714 . . . . . . . . . . . . . 14
98adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
10 eluznn 11181 . . . . . . . . . . . . 13
117, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
1211adantrr 716 . . . . . . . . . . 11
13 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
14 nnre 10568 . . . . . . . . . . . 12
15 nnrp 11258 . . . . . . . . . . . 12
16 ltsubrp 11280 . . . . . . . . . . . 12
1714, 15, 16syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
1812, 13, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
1912nnzd 10993 . . . . . . . . . . . 12
20 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . 13
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
2219, 21zsubcld 10999 . . . . . . . . . . 11
23 zltp1le 10938 . . . . . . . . . . 11
2422, 19, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
2518, 24mpbid 210 . . . . . . . . 9
2622peano2zd 10997 . . . . . . . . . 10
27 eluz 11123 . . . . . . . . . 10
2826, 19, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2925, 28mpbird 232 . . . . . . . 8
30 simprr 757 . . . . . . . . 9
31 nnuz 11145 . . . . . . . . 9
3230, 31syl6eleq 2555 . . . . . . . 8
33 fvi 5930 . . . . . . . . . 10
34 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . 11
3534zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
3633, 35eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
3736adantl 466 . . . . . . . 8
384, 6, 29, 32, 37seqsplit 12140 . . . . . . 7
39 facnn 12355 . . . . . . . 8
4012, 39syl 16 . . . . . . 7
41 facnn 12355 . . . . . . . . 9
4230, 41syl 16 . . . . . . . 8
4342oveq1d 6311 . . . . . . 7
4438, 40, 433eqtr4d 2508 . . . . . 6
4544expr 615 . . . . 5
46 simpll 753 . . . . . . . . 9
47 faccl 12363 . . . . . . . . 9
48 nncn 10569 . . . . . . . . 9
4946, 47, 483syl 20 . . . . . . . 8
5049mulid2d 9635 . . . . . . 7
5111, 39syl 16 . . . . . . . 8
5251oveq2d 6312 . . . . . . 7
5350, 52eqtr3d 2500 . . . . . 6
54 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
55 fac0 12356 . . . . . . . . 9
5654, 55syl6eq 2514 . . . . . . . 8
57 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
58 0p1e1 10672 . . . . . . . . . . 11
5957, 58syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
6059seqeq1d 12113 . . . . . . . . 9
6160fveq1d 5873 . . . . . . . 8
6256, 61oveq12d 6314 . . . . . . 7
6362eqeq2d 2471 . . . . . 6
6453, 63syl5ibrcom 222 . . . . 5
65 fznn0sub 11745 . . . . . . 7
6665adantl 466 . . . . . 6
67 elnn0 10822 . . . . . 6
6866, 67sylib 196 . . . . 5
6945, 64, 68mpjaod 381 . . . 4
7069oveq1d 6311 . . 3
71 eqid 2457 . . . . . 6
72 nn0z 10912 . . . . . . . . 9
73 zsubcl 10931 . . . . . . . . 9
7472, 20, 73syl2an 477 . . . . . . . 8
7574peano2zd 10997 . . . . . . 7
7675adantr 465 . . . . . 6
77 fvi 5930 . . . . . . . 8
78 eluzelcn 11121 . . . . . . . 8
7977, 78eqeltrd 2545 . . . . . . 7
8079adantl 466 . . . . . 6
813adantl 466 . . . . . 6
8271, 76, 80, 81seqf 12128 . . . . 5
8311, 7, 17syl2anc 661 . . . . . . 7
8474adantr 465 . . . . . . . 8
8511nnzd 10993 . . . . . . . 8
8684, 85, 23syl2anc 661 . . . . . . 7
8783, 86mpbid 210 . . . . . 6
8876, 85, 27syl2anc 661 . . . . . 6
8987, 88mpbird 232 . . . . 5
9082, 89ffvelrnd 6032 . . . 4
91 elfznn0 11800 . . . . . . 7
9291adantl 466 . . . . . 6
93 faccl 12363 . . . . . 6
9492, 93syl 16 . . . . 5
9594nncnd 10577 . . . 4
96 faccl 12363 . . . . . 6
9766, 96syl 16 . . . . 5
9897nncnd 10577 . . . 4
9994nnne0d 10605 . . . 4
10097nnne0d 10605 . . . 4
10190, 95, 98, 99, 100divcan5d 10371 . . 3
1022, 70, 1013eqtrd 2502 . 2
103 nnnn0 10827 . . . . 5
104103ad2antlr 726 . . . 4
105 nncn 10569 . . . . 5
106 nnne0 10593 . . . . 5
107105, 106div0d 10344 . . . 4
108104, 93, 1073syl 20 . . 3
1093adantl 466 . . . . 5
110 fvi 5930 . . . . . . 7
111 elfzelz 11717 . . . . . . . 8
112111zcnd 10995 . . . . . . 7
113110, 112eqeltrd 2545 . . . . . 6
114113adantl 466 . . . . 5
115 mul02 9779 . . . . . 6
116115adantl 466 . . . . 5
117 mul01 9780 . . . . . 6
118117adantl 466 . . . . 5
119 simpr 461 . . . . . . . . 9
120 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . . 12
121104, 120syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . 11
12272ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
123 elfz5 11709 . . . . . . . . . . 11
124121, 122, 123syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
125 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . 12
126125ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
127 nnre 10568 . . . . . . . . . . . 12
128127ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
129126, 128subge0d 10167 . . . . . . . . . 10
130124, 129bitr4d 256 . . . . . . . . 9
131119, 130mtbid 300 . . . . . . . 8
13274adantr 465 . . . . . . . . . 10
133132zred 10994 . . . . . . . . 9
134 0re 9617 . . . . . . . . 9
135 ltnle 9685 . . . . . . . . 9
136133, 134, 135sylancl 662 . . . . . . . 8
137131, 136mpbird 232 . . . . . . 7
138 0z 10900 . . . . . . . 8
139 zltp1le 10938 . . . . . . . 8
140132, 138, 139sylancl 662 . . . . . . 7
141137, 140mpbid 210 . . . . . 6
142 nn0ge0 10846 . . . . . . 7
143142ad2antrr 725 . . . . . 6
144 0zd 10901 . . . . . . 7
14575adantr 465 . . . . . . 7
146 elfz 11707 . . . . . . 7
147144, 145, 122, 146syl3anc 1228 . . . . . 6
148141, 143, 147mpbir2and 922 . . . . 5
149 simpll 753 . . . . 5
150 0cn 9609 . . . . . 6
151 fvi 5930 . . . . . 6
152150, 151mp1i 12 . . . . 5
153109, 114, 116, 118, 148, 149, 152seqz 12155 . . . 4
154153oveq1d 6311 . . 3
155 bcval3 12384 . . . . 5
15620, 155syl3an2 1262 . . . 4
1571563expa 1196 . . 3
158108, 154, 1573eqtr4rd 2509 . 2
159102, 158pm2.61dan 791 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452   cid 4795  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfz 11701  seqcseq 12107   cfa 12353   cbc 12380
This theorem is referenced by:  bcn2  12397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-fac 12354  df-bc 12381
  Copyright terms: Public domain W3C validator