Theorem bcval5 12035

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (N)=(N(N1)((N)1)) explicitly. In this form, it is valid even for , although it is no longer valid for non-positive . (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcval5

Proof of Theorem bcval5

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 12022	. . . 4
2	1	adantl 456	. . 3
3		mulcl 9312	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 456	. . . . . . . 8
5		mulass 9316	. . . . . . . . 9
6	5	adantl 456	. . . . . . . 8
7		simplr 739	. . . . . . . . . . . . 13
8		elfzuz3 11394	. . . . . . . . . . . . . 14
9	8	adantl 456	. . . . . . . . . . . . 13
10		eluznn 10870	. . . . . . . . . . . . 13
11	7, 9, 10	syl2anc 646	. . . . . . . . . . . 12
12	11	adantrr 701	. . . . . . . . . . 11
13		simplr 739	. . . . . . . . . . 11
14		nnre 10275	. . . . . . . . . . . 12
15		nnrp 10945	. . . . . . . . . . . 12
16		ltsubrp 10967	. . . . . . . . . . . 12
17	14, 15, 16	syl2an 467	. . . . . . . . . . 11
18	12, 13, 17	syl2anc 646	. . . . . . . . . 10
19	12	nnzd 10691	. . . . . . . . . . . 12
20		nnz 10613	. . . . . . . . . . . . 13
21	20	ad2antlr 711	. . . . . . . . . . . 12
22	19, 21	zsubcld 10697	. . . . . . . . . . 11
23		zltp1le 10639	. . . . . . . . . . 11
24	22, 19, 23	syl2anc 646	. . . . . . . . . 10
25	18, 24	mpbid 204	. . . . . . . . 9
26	22	peano2zd 10695	. . . . . . . . . 10
27		eluz 10819	. . . . . . . . . 10
28	26, 19, 27	syl2anc 646	. . . . . . . . 9
29	25, 28	mpbird 226	. . . . . . . 8
30		simprr 741	. . . . . . . . 9
31		nnuz 10841	. . . . . . . . 9
32	30, 31	syl6eleq 2512	. . . . . . . 8
33		fvi 5718	. . . . . . . . . 10
34		elfzelz 11397	. . . . . . . . . . 11
35	34	zcnd 10693	. . . . . . . . . 10
36	33, 35	eqeltrd 2496	. . . . . . . . 9
37	36	adantl 456	. . . . . . . 8
38	4, 6, 29, 32, 37	seqsplit 11780	. . . . . . 7
39		facnn 11994	. . . . . . . 8
40	12, 39	syl 16	. . . . . . 7
41		facnn 11994	. . . . . . . . 9
42	30, 41	syl 16	. . . . . . . 8
43	42	oveq1d 6076	. . . . . . 7
44	38, 40, 43	3eqtr4d 2464	. . . . . 6
45	44	expr 602	. . . . 5
46		simpll 738	. . . . . . . . 9
47		faccl 12002	. . . . . . . . 9
48		nncn 10276	. . . . . . . . 9
49	46, 47, 48	3syl 19	. . . . . . . 8
50	49	mulid2d 9350	. . . . . . 7
51	11, 39	syl 16	. . . . . . . 8
52	51	oveq2d 6077	. . . . . . 7
53	50, 52	eqtr3d 2456	. . . . . 6
54		fveq2 5661	. . . . . . . . 9
55		fac0 11995	. . . . . . . . 9
56	54, 55	syl6eq 2470	. . . . . . . 8
57		oveq1 6068	. . . . . . . . . . 11
58		0p1e1 10379	. . . . . . . . . . 11
59	57, 58	syl6eq 2470	. . . . . . . . . 10
60	59	seqeq1d 11753	. . . . . . . . 9
61	60	fveq1d 5663	. . . . . . . 8
62	56, 61	oveq12d 6079	. . . . . . 7
63	62	eqeq2d 2433	. . . . . 6
64	53, 63	syl5ibrcom 216	. . . . 5
65		fznn0sub 11431	. . . . . . 7
66	65	adantl 456	. . . . . 6
67		elnn0 10527	. . . . . 6
68	66, 67	sylib 190	. . . . 5
69	45, 64, 68	mpjaod 374	. . . 4
70	69	oveq1d 6076	. . 3
71		eqid 2422	. . . . . 6
72		nn0z 10614	. . . . . . . . 9
73		zsubcl 10632	. . . . . . . . 9
74	72, 20, 73	syl2an 467	. . . . . . . 8
75	74	peano2zd 10695	. . . . . . 7
76	75	adantr 455	. . . . . 6
77		fvi 5718	. . . . . . . 8
78		eluzelz 10815	. . . . . . . . 9
79	78	zcnd 10693	. . . . . . . 8
80	77, 79	eqeltrd 2496	. . . . . . 7
81	80	adantl 456	. . . . . 6
82	3	adantl 456	. . . . . 6
83	71, 76, 81, 82	seqf 11768	. . . . 5
84	11, 7, 17	syl2anc 646	. . . . . . 7
85	74	adantr 455	. . . . . . . 8
86	11	nnzd 10691	. . . . . . . 8
87	85, 86, 23	syl2anc 646	. . . . . . 7
88	84, 87	mpbid 204	. . . . . 6
89	76, 86, 27	syl2anc 646	. . . . . 6
90	88, 89	mpbird 226	. . . . 5
91	83, 90	ffvelrnd 5814	. . . 4
92		elfznn0 11425	. . . . . . 7
93	92	adantl 456	. . . . . 6
94		faccl 12002	. . . . . 6
95	93, 94	syl 16	. . . . 5
96	95	nncnd 10284	. . . 4
97		faccl 12002	. . . . . 6
98	66, 97	syl 16	. . . . 5
99	98	nncnd 10284	. . . 4
100	95	nnne0d 10312	. . . 4
101	98	nnne0d 10312	. . . 4
102	91, 96, 99, 100, 101	divcan5d 10079	. . 3
103	2, 70, 102	3eqtrd 2458	. 2
104		nnnn0 10532	. . . . 5
105	104	ad2antlr 711	. . . 4
106		nncn 10276	. . . . 5
107		nnne0 10300	. . . . 5
108	106, 107	div0d 10052	. . . 4
109	105, 94, 108	3syl 19	. . 3
110	3	adantl 456	. . . . 5
111		fvi 5718	. . . . . . 7
112		elfzelz 11397	. . . . . . . 8
113	112	zcnd 10693	. . . . . . 7
114	111, 113	eqeltrd 2496	. . . . . 6
115	114	adantl 456	. . . . 5
116		mul02 9493	. . . . . 6
117	116	adantl 456	. . . . 5
118		mul01 9494	. . . . . 6
119	118	adantl 456	. . . . 5
120		simpr 451	. . . . . . . . 9
121		nn0uz 10840	. . . . . . . . . . . 12
122	105, 121	syl6eleq 2512	. . . . . . . . . . 11
123	72	ad2antrr 710	. . . . . . . . . . 11
124		elfz5 11389	. . . . . . . . . . 11
125	122, 123, 124	syl2anc 646	. . . . . . . . . 10
126		nn0re 10534	. . . . . . . . . . . 12
127	126	ad2antrr 710	. . . . . . . . . . 11
128		nnre 10275	. . . . . . . . . . . 12
129	128	ad2antlr 711	. . . . . . . . . . 11
130	127, 129	subge0d 9875	. . . . . . . . . 10
131	125, 130	bitr4d 250	. . . . . . . . 9
132	120, 131	mtbid 294	. . . . . . . 8
133	74	adantr 455	. . . . . . . . . 10
134	133	zred 10692	. . . . . . . . 9
135		0re 9332	. . . . . . . . 9
136		ltnle 9400	. . . . . . . . 9
137	134, 135, 136	sylancl 647	. . . . . . . 8
138	132, 137	mpbird 226	. . . . . . 7
139		0z 10602	. . . . . . . 8
140		zltp1le 10639	. . . . . . . 8
141	133, 139, 140	sylancl 647	. . . . . . 7
142	138, 141	mpbid 204	. . . . . 6
143		nn0ge0 10551	. . . . . . 7
144	143	ad2antrr 710	. . . . . 6
145		0zd 10603	. . . . . . 7
146	75	adantr 455	. . . . . . 7
147		elfz 11387	. . . . . . 7
148	145, 146, 123, 147	syl3anc 1203	. . . . . 6
149	142, 144, 148	mpbir2and 898	. . . . 5
150		simpll 738	. . . . 5
151		0cn 9324	. . . . . 6
152		fvi 5718	. . . . . 6
153	151, 152	mp1i 12	. . . . 5
154	110, 115, 117, 119, 149, 150, 153	seqz 11795	. . . 4
155	154	oveq1d 6076	. . 3
156		bcval3 12023	. . . . 5
157	20, 156	syl3an2 1237	. . . 4
158	157	3expa 1172	. . 3
159	109, 155, 158	3eqtr4rd 2465	. 2
160	103, 159	pm2.61dan 774	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 361  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749   class class class wbr 4267  cid 4602  `cfv 5390  (class class class)co 6061  cc 9226  cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229  caddc 9231  cmul 9233  clt 9364  cle 9365  cmin 9541  cdiv 9939  cn 10268  cn0 10525  cz 10591  cuz 10806  crp 10936  cfz 11381  seqcseq 11747  cfa 11992  cbc 12019

This theorem is referenced by:  bcn2  12036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-fz 11382  df-seq 11748  df-fac 11993  df-bc 12020