MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcxmas Unicode version

Theorem bcxmas 13647
Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcxmas
Distinct variable groups:   ,M   ,N

Proof of Theorem bcxmas
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcxmaslem1 13646 . . . . 5
2 oveq2 6304 . . . . . 6
32sumeq1d 13523 . . . . 5
41, 3eqeq12d 2479 . . . 4
54imbi2d 316 . . 3
6 bcxmaslem1 13646 . . . . 5
7 oveq2 6304 . . . . . 6
87sumeq1d 13523 . . . . 5
96, 8eqeq12d 2479 . . . 4
109imbi2d 316 . . 3
11 bcxmaslem1 13646 . . . . 5
12 oveq2 6304 . . . . . 6
1312sumeq1d 13523 . . . . 5
1411, 13eqeq12d 2479 . . . 4
1514imbi2d 316 . . 3
16 bcxmaslem1 13646 . . . . 5
17 oveq2 6304 . . . . . 6
1817sumeq1d 13523 . . . . 5
1916, 18eqeq12d 2479 . . . 4
2019imbi2d 316 . . 3
21 0nn0 10835 . . . . 5
22 nn0addcl 10856 . . . . . 6
23 bcn0 12388 . . . . . 6
2422, 23syl 16 . . . . 5
2521, 24mpan2 671 . . . 4
26 0z 10900 . . . . 5
27 1nn0 10836 . . . . . . 7
2825, 27syl6eqel 2553 . . . . . 6
2928nn0cnd 10879 . . . . 5
30 bcxmaslem1 13646 . . . . . 6
3130fsum1 13564 . . . . 5
3226, 29, 31sylancr 663 . . . 4
33 peano2nn0 10861 . . . . . 6
34 nn0addcl 10856 . . . . . 6
3533, 21, 34sylancl 662 . . . . 5
36 bcn0 12388 . . . . 5
3735, 36syl 16 . . . 4
3825, 32, 373eqtr4rd 2509 . . 3
39 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
40 elnn0uz 11147 . . . . . . . . . . 11
4139, 40sylib 196 . . . . . . . . . 10
42 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
43 elfznn0 11800 . . . . . . . . . . . . 13
44 nn0addcl 10856 . . . . . . . . . . . . 13
4542, 43, 44syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
46 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . . 13
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
48 bccl 12400 . . . . . . . . . . . 12
4945, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
5049nn0cnd 10879 . . . . . . . . . 10
51 bcxmaslem1 13646 . . . . . . . . . 10
5241, 50, 51fsump1 13571 . . . . . . . . 9
53 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . 13
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
55 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . 13
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
57 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . 12
58 add32r 9816 . . . . . . . . . . . 12
5954, 56, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
6059oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
6160oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
6252, 61eqtrd 2498 . . . . . . . 8
6362adantr 465 . . . . . . 7
64 oveq1 6303 . . . . . . . 8
6564adantl 466 . . . . . . 7
66 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . 13
67 pncan 9849 . . . . . . . . . . . . 13
6856, 66, 67sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
6968oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
7069oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
71 nn0addcl 10856 . . . . . . . . . . . 12
7233, 71sylan 471 . . . . . . . . . . 11
73 nn0p1nn 10860 . . . . . . . . . . . . 13
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
7574nnzd 10993 . . . . . . . . . . 11
76 bcpasc 12399 . . . . . . . . . . 11
7772, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
7870, 77eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9
79 nn0p1nn 10860 . . . . . . . . . . . . . 14
80 nnnn0addcl 10851 . . . . . . . . . . . . . 14
8179, 80sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
8281nnnn0d 10877 . . . . . . . . . . . 12
83 bccl 12400 . . . . . . . . . . . 12
8482, 75, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
8584nn0cnd 10879 . . . . . . . . . 10
86 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . 14
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
88 bccl 12400 . . . . . . . . . . . . 13
8971, 87, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
9033, 89sylan 471 . . . . . . . . . . 11
9190nn0cnd 10879 . . . . . . . . . 10
9285, 91addcomd 9803 . . . . . . . . 9
93 peano2cn 9773 . . . . . . . . . . . . 13
9453, 93syl 16 . . . . . . . . . . . 12
9594adantr 465 . . . . . . . . . . 11
9695, 56, 57addassd 9639 . . . . . . . . . 10
9796oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
9878, 92, 973eqtr3d 2506 . . . . . . . 8
9998adantr 465 . . . . . . 7
10063, 65, 993eqtr2rd 2505 . . . . . 6
101100ex 434 . . . . 5
102101expcom 435 . . . 4
103102a2d 26 . . 3
1045, 10, 15, 20, 38, 103nn0ind 10984 . 2
105104impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cbc 12380  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  arisum  13671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator