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Theorem bernneq 12292
Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
bernneq

Proof of Theorem bernneq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . . 8
21oveq2d 6312 . . . . . . 7
3 oveq2 6304 . . . . . . 7
42, 3breq12d 4465 . . . . . 6
54imbi2d 316 . . . . 5
6 oveq2 6304 . . . . . . . 8
76oveq2d 6312 . . . . . . 7
8 oveq2 6304 . . . . . . 7
97, 8breq12d 4465 . . . . . 6
109imbi2d 316 . . . . 5
11 oveq2 6304 . . . . . . . 8
1211oveq2d 6312 . . . . . . 7
13 oveq2 6304 . . . . . . 7
1412, 13breq12d 4465 . . . . . 6
1514imbi2d 316 . . . . 5
16 oveq2 6304 . . . . . . . 8
1716oveq2d 6312 . . . . . . 7
18 oveq2 6304 . . . . . . 7
1917, 18breq12d 4465 . . . . . 6
2019imbi2d 316 . . . . 5
21 recn 9603 . . . . . . 7
22 mul01 9780 . . . . . . . . . 10
2322oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
24 1p0e1 10673 . . . . . . . . 9
2523, 24syl6eq 2514 . . . . . . . 8
26 1le1 10202 . . . . . . . . 9
27 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . 11
28 addcl 9595 . . . . . . . . . . 11
2927, 28mpan 670 . . . . . . . . . 10
30 exp0 12170 . . . . . . . . . 10
3129, 30syl 16 . . . . . . . . 9
3226, 31syl5breqr 4488 . . . . . . . 8
3325, 32eqbrtrd 4472 . . . . . . 7
3421, 33syl 16 . . . . . 6
3534adantr 465 . . . . 5
36 1re 9616 . . . . . . . . . . . . . 14
37 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . . . 15
3937, 38sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
40 readdcl 9596 . . . . . . . . . . . . . 14
4136, 39, 40sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
42 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
43 readdcl 9596 . . . . . . . . . . . . 13
4441, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
4544adantr 465 . . . . . . . . . . 11
46 readdcl 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15
4736, 46mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
4941, 48remulcld 9645 . . . . . . . . . . . 12
5049adantr 465 . . . . . . . . . . 11
51 reexpcl 12183 . . . . . . . . . . . . . 14
5247, 51sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
5352, 48remulcld 9645 . . . . . . . . . . . 12
5453adantr 465 . . . . . . . . . . 11
55 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 msqge0 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5856, 57jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 nn0ge0 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6037, 59jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16
61 mulge0 10095 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6258, 60, 61syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
6321adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6663, 63, 65mul32d 9811 . . . . . . . . . . . . . . 15
6762, 66breqtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . 14
68 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6938, 68remulcld 9645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7037, 69sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15
7144, 70addge01d 10165 . . . . . . . . . . . . . 14
7267, 71mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
73 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74 addcl 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7527, 73, 74sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7773, 76mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7875, 76, 77addassd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 muladd11 9771 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8073, 76, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
8178, 80eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14
8221, 64, 81syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
8372, 82breqtrd 4476 . . . . . . . . . . . 12
8483adantr 465 . . . . . . . . . . 11
8541adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
8652adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
8748adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
88 neg1rr 10665 . . . . . . . . . . . . . . . 16
89 leadd2 10046 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9088, 36, 89mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15
91 1pneg1e0 10669 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291breq1i 4459 . . . . . . . . . . . . . . 15
9390, 92syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14
9493biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13
9594ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . 12
96 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
9785, 86, 87, 95, 96lemul1ad 10510 . . . . . . . . . . 11
9845, 50, 54, 84, 97letrd 9760 . . . . . . . . . 10
99 adddi 9602 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10027, 99mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . 15
101 mulid1 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15
104100, 103eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
105104oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
106 addass 9600 . . . . . . . . . . . . . . 15
10727, 106mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . 14
10873, 76, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
109105, 108eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12
11021, 64, 109syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
111110adantr 465 . . . . . . . . . 10
11227, 21, 28sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
113 expp1 12173 . . . . . . . . . . . 12
114112, 113sylan 471 . . . . . . . . . . 11
115114adantr 465 . . . . . . . . . 10
11698, 111, 1153brtr4d 4482 . . . . . . . . 9
117116exp43 612 . . . . . . . 8
118117com12 31 . . . . . . 7
119118impd 431 . . . . . 6
120119a2d 26 . . . . 5
1215, 10, 15, 20, 35, 120nn0ind 10984 . . . 4
122121expd 436 . . 3
123122com12 31 . 2
1241233imp 1190 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cle 9650  -ucneg 9829   cn0 10820   cexp 12166
This theorem is referenced by:  bernneq2  12293  stoweidlem1  31783  stoweidlem10  31792  stoweidlem42  31824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
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