Theorem bezoutlem1 14176

Description: Lemma for bezout 14180. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.1
bezout.3
bezout.4

Assertion

Ref	Expression
bezoutlem1

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem bezoutlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout.3	. . . 4
2		fveq2 5871	. . . . . . 7
3		oveq1 6303	. . . . . . 7
4	2, 3	eqeq12d 2479	. . . . . 6
5	4	rexbidv 2968	. . . . 5
6		zre 10893	. . . . . 6
7		1z 10919	. . . . . . . . 9
8		ax-1rid 9583	. . . . . . . . . 10
9	8	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9
10		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11
11	10	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . 10
12	11	rspcev 3210	. . . . . . . . 9
13	7, 9, 12	sylancr 663	. . . . . . . 8
14		eqeq1 2461	. . . . . . . . 9
15	14	rexbidv 2968	. . . . . . . 8
16	13, 15	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7
17		neg1z 10925	. . . . . . . . 9
18		recn 9603	. . . . . . . . . . 11
19	18	mulm1d 10033	. . . . . . . . . 10
20		neg1cn 10664	. . . . . . . . . . 11
21		mulcom 9599	. . . . . . . . . . 11
22	20, 18, 21	sylancr 663	. . . . . . . . . 10
23	19, 22	eqtr3d 2500	. . . . . . . . 9
24		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11
25	24	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . 10
26	25	rspcev 3210	. . . . . . . . 9
27	17, 23, 26	sylancr 663	. . . . . . . 8
28		eqeq1 2461	. . . . . . . . 9
29	28	rexbidv 2968	. . . . . . . 8
30	27, 29	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7
31		absor 13133	. . . . . . 7
32	16, 30, 31	mpjaod 381	. . . . . 6
33	6, 32	syl 16	. . . . 5
34	5, 33	vtoclga 3173	. . . 4
35	1, 34	syl 16	. . 3
36		bezout.4	. . . . . . . . . . 11
37	36	zcnd 10995	. . . . . . . . . 10
38	37	adantr 465	. . . . . . . . 9
39	38	mul01d 9800	. . . . . . . 8
40	39	oveq2d 6312	. . . . . . 7
41	1	zcnd 10995	. . . . . . . . 9
42		zcn 10894	. . . . . . . . 9
43		mulcl 9597	. . . . . . . . 9
44	41, 42, 43	syl2an 477	. . . . . . . 8
45	44	addid1d 9801	. . . . . . 7
46	40, 45	eqtrd 2498	. . . . . 6
47	46	eqeq2d 2471	. . . . 5
48		0z 10900	. . . . . 6
49		oveq2 6304	. . . . . . . . 9
50	49	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
51	50	eqeq2d 2471	. . . . . . 7
52	51	rspcev 3210	. . . . . 6
53	48, 52	mpan 670	. . . . 5
54	47, 53	syl6bir 229	. . . 4
55	54	reximdva 2932	. . 3
56	35, 55	mpd 15	. 2
57		nnabscl 13158	. . . 4
58	57	ex 434	. . 3
59	1, 58	syl 16	. 2
60		eqeq1 2461	. . . . 5
61	60	2rexbidv 2975	. . . 4
62		bezout.1	. . . 4
63	61, 62	elrab2 3259	. . 3
64	63	simplbi2com 627	. 2
65	56, 59, 64	sylsyld 56	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  -ucneg 9829  cn 10561  cz 10889  cabs 13067

This theorem is referenced by:  bezoutlem2  14177  bezoutlem4  14179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069