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Theorem bezoutlem3 14178
Description: Lemma for bezout 14180. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1
bezout.3
bezout.4
bezout.2
bezout.5
Assertion
Ref Expression
bezoutlem3
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , , ,   , , ,   , , ,   ,M,

Proof of Theorem bezoutlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . . . 10
2 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . 13
322rexbidv 2975 . . . . . . . . . . . 12
4 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
54oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
65eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13
7 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
87oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
98eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13
106, 9cbvrex2v 3093 . . . . . . . . . . . 12
113, 10syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11
12 bezout.1 . . . . . . . . . . 11
1311, 12elrab2 3259 . . . . . . . . . 10
141, 13sylib 196 . . . . . . . . 9
1514simpld 459 . . . . . . . 8
1615nnred 10576 . . . . . . 7
17 bezout.3 . . . . . . . . . . . 12
18 bezout.4 . . . . . . . . . . . 12
19 bezout.2 . . . . . . . . . . . 12
20 bezout.5 . . . . . . . . . . . 12
2112, 17, 18, 19, 20bezoutlem2 14177 . . . . . . . . . . 11
22 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
25 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
2824, 27cbvrex2v 3093 . . . . . . . . . . . . 13
29 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . 14
30292rexbidv 2975 . . . . . . . . . . . . 13
3128, 30syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12
3231, 12elrab2 3259 . . . . . . . . . . 11
3321, 32sylib 196 . . . . . . . . . 10
3433simpld 459 . . . . . . . . 9
3534nnrpd 11284 . . . . . . . 8
3635adantr 465 . . . . . . 7
37 modlt 12006 . . . . . . 7
3816, 36, 37syl2anc 661 . . . . . 6
3915nnzd 10993 . . . . . . . . 9
4034adantr 465 . . . . . . . . 9
4139, 40zmodcld 12016 . . . . . . . 8
4241nn0red 10878 . . . . . . 7
4334nnred 10576 . . . . . . . 8
4443adantr 465 . . . . . . 7
4542, 44ltnled 9753 . . . . . 6
4638, 45mpbid 210 . . . . 5
4714simprd 463 . . . . . . . . 9
4833simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
50 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5216, 40nndivred 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5352flcld 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5551, 54zmulcld 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5650, 55zsubcld 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5958, 54zmulcld 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6057, 59zsubcld 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6117zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6350zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6462, 63mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6518zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6757zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6866, 67mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6955zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7062, 69mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7159zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7266, 71mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7364, 68, 70, 72addsub4d 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7451zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7562, 74mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7658zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7766, 76mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7853zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8075, 77, 79adddird 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8162, 74, 79mulassd 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8266, 76, 79mulassd 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8381, 82oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8480, 83eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8584oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8662, 63, 69subdid 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8766, 67, 71subdid 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8886, 87oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8973, 85, 883eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
90 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9190oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
93 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9493oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9594eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9692, 95rspc2ev 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9756, 60, 89, 96syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99 oveq12 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10098, 99sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101100eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1021012rexbidv 2975 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10397, 102syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . 14
105104expr 615 . . . . . . . . . . . . 13
106105rexlimdvv 2955 . . . . . . . . . . . 12
10749, 106mpd 15 . . . . . . . . . . 11
108107ex 434 . . . . . . . . . 10
109108rexlimdvv 2955 . . . . . . . . 9
11047, 109mpd 15 . . . . . . . 8
111 modval 11998 . . . . . . . . . . . 12
11216, 36, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
113112eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
114113eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
1151142rexbidv 2975 . . . . . . . 8
116110, 115mpbid 210 . . . . . . 7
117 eqeq1 2461 . . . . . . . . . 10
1181172rexbidv 2975 . . . . . . . . 9
119118, 12elrab2 3259 . . . . . . . 8
120119simplbi2com 627 . . . . . . 7
121116, 120syl 16 . . . . . 6
122 ssrab2 3584 . . . . . . . . . 10
12312, 122eqsstri 3533 . . . . . . . . 9
124 nnuz 11145 . . . . . . . . 9
125123, 124sseqtri 3535 . . . . . . . 8
126 infmssuzle 11193 . . . . . . . 8
127125, 126mpan 670 . . . . . . 7
12819, 127syl5eqbr 4485 . . . . . 6
129121, 128syl6 33 . . . . 5
13046, 129mtod 177 . . . 4
131 elnn0 10822 . . . . . 6
13241, 131sylib 196 . . . . 5
133132ord 377 . . . 4
134130, 133mpd 15 . . 3
135 dvdsval3 13990 . . . 4
13640, 39, 135syl2anc 661 . . 3
137134, 136mpbird 232 . 2
138137ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfl 11927   cmo 11996   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  bezoutlem4  14179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987
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