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Theorem bezoutlem4 14179
Description: Lemma for bezout 14180. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1
bezout.3
bezout.4
bezout.2
bezout.5
Assertion
Ref Expression
bezoutlem4
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , , ,   , , ,   ,M,

Proof of Theorem bezoutlem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezout.3 . . . . . . . 8
2 bezout.4 . . . . . . . 8
3 gcddvds 14153 . . . . . . . 8
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . 7
54simpld 459 . . . . . 6
61, 2gcdcld 14156 . . . . . . . 8
76nn0zd 10992 . . . . . . 7
8 divides 13988 . . . . . . 7
97, 1, 8syl2anc 661 . . . . . 6
105, 9mpbid 210 . . . . 5
114simprd 463 . . . . . 6
12 divides 13988 . . . . . . 7
137, 2, 12syl2anc 661 . . . . . 6
1411, 13mpbid 210 . . . . 5
15 reeanv 3025 . . . . . 6
16 bezout.1 . . . . . . . . . . 11
17 bezout.2 . . . . . . . . . . 11
18 bezout.5 . . . . . . . . . . 11
1916, 1, 2, 17, 18bezoutlem2 14177 . . . . . . . . . 10
20 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
2221eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13
23 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
2524eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13
2622, 25cbvrex2v 3093 . . . . . . . . . . . 12
27 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . 13
28272rexbidv 2975 . . . . . . . . . . . 12
2926, 28syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11
3029, 16elrab2 3259 . . . . . . . . . 10
3119, 30sylib 196 . . . . . . . . 9
3231simprd 463 . . . . . . . 8
33 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
34 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3533, 34zmulcld 11000 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
37 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3836, 37zmulcld 11000 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3935, 38zaddcld 10998 . . . . . . . . . . . . . . 15
407adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 dvdsmul2 14006 . . . . . . . . . . . . . . 15
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
4335zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4438zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4540zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4643, 44, 45adddird 9642 . . . . . . . . . . . . . . 15
4733zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4834zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4947, 48, 45mul32d 9811 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5036zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5137zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5250, 51, 45mul32d 9811 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5349, 52oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15
5446, 53eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
5542, 54breqtrd 4476 . . . . . . . . . . . . 13
56 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15
5856, 57oveqan12d 6315 . . . . . . . . . . . . . 14
5958breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . 13
6055, 59syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . 12
61 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13
6261imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
6360, 62syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11
6463expr 615 . . . . . . . . . 10
6564com23 78 . . . . . . . . 9
6665rexlimdvva 2956 . . . . . . . 8
6732, 66mpd 15 . . . . . . 7
6867rexlimdvv 2955 . . . . . 6
6915, 68syl5bir 218 . . . . 5
7010, 14, 69mp2and 679 . . . 4
7131simpld 459 . . . . 5
72 dvdsle 14031 . . . . 5
737, 71, 72syl2anc 661 . . . 4
7470, 73mpd 15 . . 3
75 breq2 4456 . . . . 5
7616, 1, 2bezoutlem1 14176 . . . . . . . 8
7716, 1, 2, 17, 18bezoutlem3 14178 . . . . . . . 8
7876, 77syld 44 . . . . . . 7
7971nnzd 10993 . . . . . . . 8
80 dvdsabsb 14003 . . . . . . . 8
8179, 1, 80syl2anc 661 . . . . . . 7
8278, 81sylibrd 234 . . . . . 6
8382imp 429 . . . . 5
84 dvds0 13999 . . . . . 6
8579, 84syl 16 . . . . 5
8675, 83, 85pm2.61ne 2772 . . . 4
87 breq2 4456 . . . . 5
88 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
8988, 2, 1bezoutlem1 14176 . . . . . . . . 9
90 rexcom 3019 . . . . . . . . . . . . 13
911zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
93 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9493ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9592, 94mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . . . 16
962zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9796adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
98 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9998ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10097, 99mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10195, 100addcomd 9803 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
1031022rexbidva 2974 . . . . . . . . . . . . 13
10490, 103syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12
105104rabbidv 3101 . . . . . . . . . . 11
10616, 105syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
107106eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
10889, 107sylibrd 234 . . . . . . . 8
10916, 1, 2, 17, 18bezoutlem3 14178 . . . . . . . 8
110108, 109syld 44 . . . . . . 7
111 dvdsabsb 14003 . . . . . . . 8
11279, 2, 111syl2anc 661 . . . . . . 7
113110, 112sylibrd 234 . . . . . 6
114113imp 429 . . . . 5
11587, 114, 85pm2.61ne 2772 . . . 4
116 dvdslegcd 14154 . . . . 5
11779, 1, 2, 18, 116syl31anc 1231 . . . 4
11886, 115, 117mp2and 679 . . 3
1196nn0red 10878 . . . 4
12071nnred 10576 . . . 4
121119, 120letri3d 9748 . . 3
12274, 118, 121mpbir2and 922 . 2
123122, 19eqeltrd 2545 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cn 10561   cz 10889   cabs 13067   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  bezout  14180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
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