MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom3 Unicode version

Theorem binom3 12287
Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 10620 . . . 4
21oveq2i 6307 . . 3
3 addcl 9595 . . . 4
4 2nn0 10837 . . . 4
5 expp1 12173 . . . 4
63, 4, 5sylancl 662 . . 3
72, 6syl5eq 2510 . 2
8 sqcl 12230 . . . . 5
93, 8syl 16 . . . 4
10 simpl 457 . . . 4
11 simpr 461 . . . 4
129, 10, 11adddid 9641 . . 3
13 binom2 12283 . . . . . 6
1413oveq1d 6311 . . . . 5
15 sqcl 12230 . . . . . . . 8
1610, 15syl 16 . . . . . . 7
17 2cn 10631 . . . . . . . 8
18 mulcl 9597 . . . . . . . 8
19 mulcl 9597 . . . . . . . 8
2017, 18, 19sylancr 663 . . . . . . 7
2116, 20addcld 9636 . . . . . 6
22 sqcl 12230 . . . . . . 7
2311, 22syl 16 . . . . . 6
2421, 23, 10adddird 9642 . . . . 5
2516, 20, 10adddird 9642 . . . . . . 7
261oveq2i 6307 . . . . . . . . 9
27 expp1 12173 . . . . . . . . . 10
2810, 4, 27sylancl 662 . . . . . . . . 9
2926, 28syl5eq 2510 . . . . . . . 8
30 sqval 12227 . . . . . . . . . . . . 13
3110, 30syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3231oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
3310, 10, 11mul32d 9811 . . . . . . . . . . 11
3432, 33eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
3534oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
36 2cnd 10633 . . . . . . . . . 10
3736, 18, 10mulassd 9640 . . . . . . . . 9
3835, 37eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
3929, 38oveq12d 6314 . . . . . . 7
4025, 39eqtr4d 2501 . . . . . 6
4123, 10mulcomd 9638 . . . . . 6
4240, 41oveq12d 6314 . . . . 5
4314, 24, 423eqtrd 2502 . . . 4
4413oveq1d 6311 . . . . 5
4521, 23, 11adddird 9642 . . . . 5
46 sqval 12227 . . . . . . . . . . . . . 14
4711, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4847oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
4910, 11, 11mulassd 9640 . . . . . . . . . . . 12
5048, 49eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11
5150oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
5236, 18, 11mulassd 9640 . . . . . . . . . 10
5351, 52eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
5453oveq2d 6312 . . . . . . . 8
5516, 20, 11adddird 9642 . . . . . . . 8
5654, 55eqtr4d 2501 . . . . . . 7
571oveq2i 6307 . . . . . . . 8
58 expp1 12173 . . . . . . . . 9
5911, 4, 58sylancl 662 . . . . . . . 8
6057, 59syl5eq 2510 . . . . . . 7
6156, 60oveq12d 6314 . . . . . 6
6216, 11mulcld 9637 . . . . . . 7
6310, 23mulcld 9637 . . . . . . . 8
64 mulcl 9597 . . . . . . . 8
6517, 63, 64sylancr 663 . . . . . . 7
66 3nn0 10838 . . . . . . . 8
67 expcl 12184 . . . . . . . 8
6811, 66, 67sylancl 662 . . . . . . 7
6962, 65, 68addassd 9639 . . . . . 6
7061, 69eqtr3d 2500 . . . . 5
7144, 45, 703eqtrd 2502 . . . 4
7243, 71oveq12d 6314 . . 3
73 expcl 12184 . . . . . 6
7410, 66, 73sylancl 662 . . . . 5
75 mulcl 9597 . . . . . 6
7617, 62, 75sylancr 663 . . . . 5
7774, 76addcld 9636 . . . 4
7865, 68addcld 9636 . . . 4
7977, 63, 62, 78add4d 9826 . . 3
8012, 72, 793eqtrd 2502 . 2
8174, 76, 62addassd 9639 . . . 4
821oveq1i 6306 . . . . . . 7
83 1cnd 9633 . . . . . . . 8
8436, 83, 62adddird 9642 . . . . . . 7
8582, 84syl5eq 2510 . . . . . 6
8662mulid2d 9635 . . . . . . 7
8786oveq2d 6312 . . . . . 6
8885, 87eqtrd 2498 . . . . 5
8988oveq2d 6312 . . . 4
9081, 89eqtr4d 2501 . . 3
91 1p2e3 10685 . . . . . . . 8
9291oveq1i 6306 . . . . . . 7
9383, 36, 63adddird 9642 . . . . . . 7
9492, 93syl5eqr 2512 . . . . . 6
9563mulid2d 9635 . . . . . . 7
9695oveq1d 6311 . . . . . 6
9794, 96eqtrd 2498 . . . . 5
9897oveq1d 6311 . . . 4
9963, 65, 68addassd 9639 . . . 4
10098, 99eqtr2d 2499 . . 3
10190, 100oveq12d 6314 . 2
1027, 80, 1013eqtrd 2502 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518  2c2 10610  3c3 10611   cn0 10820   cexp 12166
This theorem is referenced by:  dcubic1lem  23174  mcubic  23178  binom4  23181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator