MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomlem Unicode version

Theorem binomlem 13641
Description: Lemma for binom 13642 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
binomlem.1
binomlem.2
binomlem.3
binomlem.4
Assertion
Ref Expression
binomlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,N   ,

Proof of Theorem binomlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomlem.4 . . . . . 6
21adantl 466 . . . . 5
32oveq1d 6311 . . . 4
4 fzfid 12083 . . . . . . 7
5 binomlem.1 . . . . . . 7
6 fzelp1 11761 . . . . . . . . 9
7 binomlem.3 . . . . . . . . . . 11
8 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . 11
9 bccl 12400 . . . . . . . . . . 11
107, 8, 9syl2an 477 . . . . . . . . . 10
1110nn0cnd 10879 . . . . . . . . 9
126, 11sylan2 474 . . . . . . . 8
13 fznn0sub 11745 . . . . . . . . . 10
14 expcl 12184 . . . . . . . . . 10
155, 13, 14syl2an 477 . . . . . . . . 9
16 binomlem.2 . . . . . . . . . . 11
17 elfznn0 11800 . . . . . . . . . . 11
18 expcl 12184 . . . . . . . . . . 11
1916, 17, 18syl2an 477 . . . . . . . . . 10
206, 19sylan2 474 . . . . . . . . 9
2115, 20mulcld 9637 . . . . . . . 8
2212, 21mulcld 9637 . . . . . . 7
234, 5, 22fsummulc1 13600 . . . . . 6
245adantr 465 . . . . . . . . 9
2512, 21, 24mulassd 9640 . . . . . . . 8
267nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
28 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . . . 14
29 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . 14
3227, 28, 31addsubd 9975 . . . . . . . . . . . . 13
3332oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
34 expp1 12173 . . . . . . . . . . . . 13
355, 13, 34syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
3633, 35eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
3736oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
3815, 24, 20mul32d 9811 . . . . . . . . . 10
3937, 38eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
4039oveq2d 6312 . . . . . . . 8
4125, 40eqtr4d 2501 . . . . . . 7
4241sumeq2dv 13525 . . . . . 6
43 fzssp1 11755 . . . . . . . 8
4443a1i 11 . . . . . . 7
45 fznn0sub 11745 . . . . . . . . . . 11
46 expcl 12184 . . . . . . . . . . 11
475, 45, 46syl2an 477 . . . . . . . . . 10
4847, 19mulcld 9637 . . . . . . . . 9
4911, 48mulcld 9637 . . . . . . . 8
506, 49sylan2 474 . . . . . . 7
517adantr 465 . . . . . . . . . 10
52 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . 12
5352, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11
5453adantl 466 . . . . . . . . . 10
55 eldifn 3626 . . . . . . . . . . 11
5655adantl 466 . . . . . . . . . 10
57 bcval3 12384 . . . . . . . . . 10
5851, 54, 56, 57syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
5958oveq1d 6311 . . . . . . . 8
6048mul02d 9799 . . . . . . . . 9
6152, 60sylan2 474 . . . . . . . 8
6259, 61eqtrd 2498 . . . . . . 7
63 fzssuz 11753 . . . . . . . 8
6463a1i 11 . . . . . . 7
6544, 50, 62, 64sumss 13546 . . . . . 6
6623, 42, 653eqtrd 2502 . . . . 5
6766adantr 465 . . . 4
683, 67eqtrd 2498 . . 3
691oveq1d 6311 . . . 4
704, 16, 22fsummulc1 13600 . . . . 5
71 1zzd 10920 . . . . . . . 8
72 0z 10900 . . . . . . . . 9
7372a1i 11 . . . . . . . 8
747nn0zd 10992 . . . . . . . 8
7516adantr 465 . . . . . . . . 9
7622, 75mulcld 9637 . . . . . . . 8
77 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
78 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
7978oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
80 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
8179, 80oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
8277, 81oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
8382oveq1d 6311 . . . . . . . 8
8471, 73, 74, 76, 83fsumshft 13595 . . . . . . 7
85 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
8685oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
8785oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
8887oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
8985oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
9088, 89oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
9186, 90oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
9291oveq1d 6311 . . . . . . . 8
9392cbvsumv 13518 . . . . . . 7
9484, 93syl6eq 2514 . . . . . 6
9526adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
96 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
9897zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . 13
99 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . . 13
10095, 98, 99subsub3d 9984 . . . . . . . . . . . 12
101100oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
102101oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
103102oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
104103oveq1d 6311 . . . . . . . 8
105 fzp1ss 11760 . . . . . . . . . . . 12
10672, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
107106sseli 3499 . . . . . . . . . 10
1087adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
1098adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
110 peano2zm 10932 . . . . . . . . . . . . 13
111109, 110syl 16 . . . . . . . . . . . 12
112 bccl 12400 . . . . . . . . . . . 12
113108, 111, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
114113nn0cnd 10879 . . . . . . . . . 10
115107, 114sylan2 474 . . . . . . . . 9
116107, 47sylan2 474 . . . . . . . . . 10
11716adantr 465 . . . . . . . . . . 11
118 elfznn 11743 . . . . . . . . . . . . . 14
119 0p1e1 10672 . . . . . . . . . . . . . . 15
120119oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . 14
121118, 120eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . 13
122121adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
123 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . . . . 12
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . 11
125117, 124expcld 12310 . . . . . . . . . 10
126116, 125mulcld 9637 . . . . . . . . 9
127115, 126, 117mulassd 9640 . . . . . . . 8
128116, 125, 117mulassd 9640 . . . . . . . . . 10
129 expm1t 12194 . . . . . . . . . . . 12
13016, 121, 129syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
131130oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
132128, 131eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
133132oveq2d 6312 . . . . . . . 8
134104, 127, 1333eqtrd 2502 . . . . . . 7
135134sumeq2dv 13525 . . . . . 6
136106a1i 11 . . . . . . 7
137114, 48mulcld 9637 . . . . . . . 8
138107, 137sylan2 474 . . . . . . 7
1397adantr 465 . . . . . . . . . 10
140 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . 13
141140adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
142141, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11
143142, 110syl 16 . . . . . . . . . 10
144 eldifn 3626 . . . . . . . . . . . 12
145144adantl 466 . . . . . . . . . . 11
14672a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
147139nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . 13
148 1zzd 10920 . . . . . . . . . . . . 13
149 fzaddel 11747 . . . . . . . . . . . . 13
150146, 147, 143, 148, 149syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12
151142zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . 14
152 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . 14
153 npcan 9852 . . . . . . . . . . . . . 14
154151, 152, 153sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
155154eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
156150, 155bitrd 253 . . . . . . . . . . 11
157145, 156mtbird 301 . . . . . . . . . 10
158 bcval3 12384 . . . . . . . . . 10
159139, 143, 157, 158syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
160159oveq1d 6311 . . . . . . . 8
161140, 60sylan2 474 . . . . . . . 8
162160, 161eqtrd 2498 . . . . . . 7
163136, 138, 162, 64sumss 13546 . . . . . 6
16494, 135, 1633eqtrd 2502 . . . . 5
16570, 164eqtrd 2498 . . . 4
16669, 165sylan9eqr 2520 . . 3
16768, 166oveq12d 6314 . 2
1685, 16addcld 9636 . . . . 5
169168, 7expp1d 12311 . . . 4
170168, 7expcld 12310 . . . . 5
171170, 5, 16adddid 9641 . . . 4
172169, 171eqtrd 2498 . . 3
173172adantr 465 . 2
174 bcpasc 12399 . . . . . . . 8
1757, 8, 174syl2an 477 . . . . . . 7
176175oveq1d 6311 . . . . . 6
17711, 114, 48adddird 9642 . . . . . 6
178176, 177eqtr3d 2500 . . . . 5
179178sumeq2dv 13525 . . . 4
180 fzfid 12083 . . . . 5
181180, 49, 137fsumadd 13561 . . . 4
182179, 181eqtrd 2498 . . 3
183182adantr 465 . 2
184167, 173, 1833eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  \cdif 3472  C_wss 3475  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cexp 12166   cbc 12380  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  binom  13642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator