MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitscmp Unicode version

Theorem bitscmp 14088
Description: The bit complement of is . (Thus, by bitsfi 14087, all negative numbers have cofinite representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitscmp

Proof of Theorem bitscmp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval2 14075 . . . . . . 7
2 2z 10921 . . . . . . . . . 10
32a1i 11 . . . . . . . . 9
4 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
54zred 10994 . . . . . . . . . . 11
6 2nn 10718 . . . . . . . . . . . . 13
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
8 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
97, 8nnexpcld 12331 . . . . . . . . . . 11
105, 9nndivred 10609 . . . . . . . . . 10
1110flcld 11935 . . . . . . . . 9
12 dvdsnegb 14001 . . . . . . . . 9
133, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . 8
1413notbid 294 . . . . . . 7
1511znegcld 10996 . . . . . . . . 9
16 oddm1even 14047 . . . . . . . . 9
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8
18 flltp1 11937 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1910, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
2011zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
21 1red 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2220, 21readdcld 9644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2310, 22ltnegd 10155 . . . . . . . . . . . . . . 15
2419, 23mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
2520recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15
2621recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15
2725, 26negdi2d 9968 . . . . . . . . . . . . . 14
285recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15
299nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . 15
309nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . . . . 15
3128, 29, 30divnegd 10358 . . . . . . . . . . . . . 14
3224, 27, 313brtr3d 4481 . . . . . . . . . . . . 13
33 1zzd 10920 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3415, 33zsubcld 10999 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534zred 10994 . . . . . . . . . . . . . 14
365renegcld 10011 . . . . . . . . . . . . . 14
379nnrpd 11284 . . . . . . . . . . . . . 14
3835, 36, 37ltmuldivd 11328 . . . . . . . . . . . . 13
3932, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
409nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . . 14
4134, 40zmulcld 11000 . . . . . . . . . . . . 13
424znegcld 10996 . . . . . . . . . . . . 13
43 zltlem1 10941 . . . . . . . . . . . . 13
4441, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
4539, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
4636, 21resubcld 10012 . . . . . . . . . . . 12
4735, 46, 37lemuldivd 11330 . . . . . . . . . . 11
4845, 47mpbid 210 . . . . . . . . . 10
49 flle 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5010, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5120, 10lenegd 10156 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5250, 51mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15
5331, 52eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . . . . . . 14
5420renegcld 10011 . . . . . . . . . . . . . . 15
5536, 54, 37ledivmuld 11334 . . . . . . . . . . . . . 14
5653, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
5740, 15zmulcld 11000 . . . . . . . . . . . . . 14
58 zlem1lt 10940 . . . . . . . . . . . . . 14
5942, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
6056, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
6146, 54, 37ltdivmuld 11332 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
6325negcld 9941 . . . . . . . . . . . 12
6463, 26npcand 9958 . . . . . . . . . . 11
6562, 64breqtrrd 4478 . . . . . . . . . 10
6646, 9nndivred 10609 . . . . . . . . . . 11
67 flbi 11952 . . . . . . . . . . 11
6866, 34, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
6948, 65, 68mpbir2and 922 . . . . . . . . 9
7069breq2d 4464 . . . . . . . 8
7117, 70bitr4d 256 . . . . . . 7
721, 14, 713bitrd 279 . . . . . 6
7372notbid 294 . . . . 5
7473pm5.32da 641 . . . 4
75 znegcl 10924 . . . . . 6
76 1zzd 10920 . . . . . 6
7775, 76zsubcld 10999 . . . . 5
7877biantrurd 508 . . . 4
7974, 78bitrd 253 . . 3
80 eldif 3485 . . 3
81 bitsval 14074 . . . 4
82 3anass 977 . . . 4
8381, 82bitri 249 . . 3
8479, 80, 833bitr4g 288 . 2
8584eqrdv 2454 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  \cdif 3472   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cfl 11927   cexp 12166   cdvds 13986   cbits 14069
This theorem is referenced by:  m1bits  14090  bitsf1  14096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-dvds 13987  df-bits 14072
  Copyright terms: Public domain W3C validator