MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf1 Unicode version

Theorem bitsf1 14096
Description: The function is an injection from to . It is obviously not a bijection (by Cantor's theorem canth2 7690), and in fact its range is the set of finite and cofinite subsets of . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf1

Proof of Theorem bitsf1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsf 14077 . 2
2 simpl 457 . . . . . . . 8
32zcnd 10995 . . . . . . 7
43adantr 465 . . . . . 6
5 simpr 461 . . . . . . . 8
65zcnd 10995 . . . . . . 7
76adantr 465 . . . . . 6
84negcld 9941 . . . . . . 7
97negcld 9941 . . . . . . 7
10 1cnd 9633 . . . . . . 7
11 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
1211difeq2d 3621 . . . . . . . . . 10
13 bitscmp 14088 . . . . . . . . . . 11
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
15 bitscmp 14088 . . . . . . . . . . 11
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
1712, 14, 163eqtr3d 2506 . . . . . . . . 9
18 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . . . 11
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
20 fvres 5885 . . . . . . . . . 10
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9
22 ominf 7752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 nn0ennn 12089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
24 nnenom 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2523, 24entr2i 7590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26 enfii 7757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2725, 26mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2822, 27mto 176 . . . . . . . . . . . . . . . 16
29 difinf 7810 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3028, 29mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 bitsfi 14087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3219, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3314, 32eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15
3430, 33nsyl3 119 . . . . . . . . . . . . . 14
3511, 34eqneltrrd 2567 . . . . . . . . . . . . 13
36 bitsfi 14087 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36nsyl 121 . . . . . . . . . . . 12
385znegcld 10996 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 elznn 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4039simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4138, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
426negnegd 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443orbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . 15
4541, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
4746ord 377 . . . . . . . . . . . 12
4837, 47mt3d 125 . . . . . . . . . . 11
49 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . . . 11
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . 10
51 fvres 5885 . . . . . . . . . 10
5250, 51syl 16 . . . . . . . . 9
5317, 21, 523eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
54 bitsf1o 14095 . . . . . . . . . . 11
55 f1of1 5820 . . . . . . . . . . 11
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
57 f1fveq 6170 . . . . . . . . . 10
5856, 57mpan 670 . . . . . . . . 9
5919, 50, 58syl2anc 661 . . . . . . . 8
6053, 59mpbid 210 . . . . . . 7
618, 9, 10, 60subcan2d 9996 . . . . . 6
624, 7, 61neg11d 9966 . . . . 5
6362expr 615 . . . 4
643negnegd 9945 . . . . . . 7
6564eleq1d 2526 . . . . . 6
6665biimpa 484 . . . . 5
67 simprr 757 . . . . . . . 8
68 fvres 5885 . . . . . . . . 9
6968ad2antrl 727 . . . . . . . 8
7015ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13
71 bitsfi 14087 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15
7367, 72eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . 14
74 difinf 7810 . . . . . . . . . . . . . 14
7528, 73, 74sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
7670, 75eqneltrrd 2567 . . . . . . . . . . . 12
77 bitsfi 14087 . . . . . . . . . . . 12
7876, 77nsyl 121 . . . . . . . . . . 11
7978, 49nsyl 121 . . . . . . . . . 10
8045adantr 465 . . . . . . . . . . 11
8180ord 377 . . . . . . . . . 10
8279, 81mpd 15 . . . . . . . . 9
83 fvres 5885 . . . . . . . . 9
8482, 83syl 16 . . . . . . . 8
8567, 69, 843eqtr4d 2508 . . . . . . 7
86 simprl 756 . . . . . . . 8
87 f1fveq 6170 . . . . . . . . 9
8856, 87mpan 670 . . . . . . . 8
8986, 82, 88syl2anc 661 . . . . . . 7
9085, 89mpbid 210 . . . . . 6
9190expr 615 . . . . 5
9266, 91syldan 470 . . . 4
932znegcld 10996 . . . . 5
94 elznn 10905 . . . . . 6
9594simprbi 464 . . . . 5
9693, 95syl 16 . . . 4
9763, 92, 96mpjaodan 786 . . 3
9897rgen2a 2884 . 2
99 dff13 6166 . 2
1001, 98, 99mpbir2an 920 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  \cdif 3472  i^icin 3474  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700   cen 7533   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  1c1 9514   cmin 9828  -ucneg 9829   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cbits 14069
This theorem is referenced by:  bitsuz  14124  eulerpartlemmf  28314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072
  Copyright terms: Public domain W3C validator