Theorem bitsf1ocnv 14094

Description: The function restricted to nonnegative integers is a bijection from the integers to the finite sets of integers. It is in fact the inverse of the Ackermann bijection ackbijnn 13640. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf1ocnv

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem bitsf1ocnv

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . . 6
2		bitsss 14076	. . . . . . . . 9
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8
4		bitsfi 14087	. . . . . . . 8
5		elfpw 7842	. . . . . . . 8
6	3, 4, 5	sylanbrc 664	. . . . . . 7
7	6	adantl 466	. . . . . 6
8		elfpw 7842	. . . . . . . . 9
9	8	simprbi 464	. . . . . . . 8
10		2nn0 10837	. . . . . . . . . 10
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9
12	8	simplbi 460	. . . . . . . . . 10
13	12	sselda 3503	. . . . . . . . 9
14	11, 13	nn0expcld 12332	. . . . . . . 8
15	9, 14	fsumnn0cl 13558	. . . . . . 7
16	15	adantl 466	. . . . . 6
17		bitsinv2 14093	. . . . . . . . . 10
18	17	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9
19	18	ad2antll 728	. . . . . . . 8
20		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
21	20	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
22	19, 21	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7
23		bitsinv1 14092	. . . . . . . . . 10
24	23	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9
25	24	ad2antrl 727	. . . . . . . 8
26		sumeq1 13511	. . . . . . . . 9
27	26	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
28	25, 27	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7
29	22, 28	impbid 191	. . . . . 6
30	1, 7, 16, 29	f1ocnv2d 6526	. . . . 5
31	30	simpld 459	. . . 4
32		bitsf 14077	. . . . . . . . 9
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8
34	33	feqmptd 5926	. . . . . . 7
35	34	reseq1d 5277	. . . . . 6
36		nn0ssz 10910	. . . . . . 7
37		resmpt 5328	. . . . . . 7
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . 6
39	35, 38	syl6eq 2514	. . . . 5
40		f1oeq1 5812	. . . . 5
41	39, 40	syl 16	. . . 4
42	31, 41	mpbird 232	. . 3
43	39	cnveqd 5183	. . . 4
44	30	simprd 463	. . . 4
45	43, 44	eqtrd 2498	. . 3
46	42, 45	jca 532	. 2
47	46	trud 1404	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  wtru 1396  e.wcel 1818  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cfn 7536  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cexp 12166  sum_csu 13508  cbits 14069

This theorem is referenced by:  bitsf1o  14095  bitsinv  14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072