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Theorem bitsfzo 14085
Description: The bits of a number are all less than iff the number is nonnegative and less than . (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfzo

Proof of Theorem bitsfzo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval 14074 . . . 4
2 simp32 1033 . . . . . . 7
3 nn0uz 11144 . . . . . . 7
42, 3syl6eleq 2555 . . . . . 6
5 simp1r 1021 . . . . . . 7
65nn0zd 10992 . . . . . 6
7 2re 10630 . . . . . . . . . 10
87a1i 11 . . . . . . . . 9
98, 2reexpcld 12327 . . . . . . . 8
10 simp1l 1020 . . . . . . . . 9
1110zred 10994 . . . . . . . 8
128, 5reexpcld 12327 . . . . . . . 8
139recnd 9643 . . . . . . . . . 10
1413mulid2d 9635 . . . . . . . . 9
15 simp33 1034 . . . . . . . . . . 11
16 2rp 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
182nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15
1917, 18rpexpcld 12333 . . . . . . . . . . . . . 14
2011, 19rerpdivcld 11312 . . . . . . . . . . . . 13
21 1red 9632 . . . . . . . . . . . . 13
2220, 21ltnled 9753 . . . . . . . . . . . 12
23 0p1e1 10672 . . . . . . . . . . . . . 14
2423breq2i 4460 . . . . . . . . . . . . 13
25 elfzole1 11836 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26253ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15
2711, 19, 26divge0d 11321 . . . . . . . . . . . . . 14
28 0z 10900 . . . . . . . . . . . . . . . 16
29 flbi 11952 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3020, 28, 29sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 2z 10921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 dvds0 13999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3533, 34syl5breqr 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15
3630, 35syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . 14
3727, 36mpand 675 . . . . . . . . . . . . 13
3824, 37syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12
3922, 38sylbird 235 . . . . . . . . . . 11
4015, 39mt3d 125 . . . . . . . . . 10
4121, 11, 19lemuldivd 11330 . . . . . . . . . 10
4240, 41mpbird 232 . . . . . . . . 9
4314, 42eqbrtrrd 4474 . . . . . . . 8
44 elfzolt2 11837 . . . . . . . . 9
45443ad2ant2 1018 . . . . . . . 8
469, 11, 12, 43, 45lelttrd 9761 . . . . . . 7
47 1lt2 10727 . . . . . . . . 9
4847a1i 11 . . . . . . . 8
498, 18, 6, 48ltexp2d 12339 . . . . . . 7
5046, 49mpbird 232 . . . . . 6
51 elfzo2 11832 . . . . . 6
524, 6, 50, 51syl3anbrc 1180 . . . . 5
53523expia 1198 . . . 4
541, 53syl5bi 217 . . 3
5554ssrdv 3509 . 2
56 simpr 461 . . . . . . . 8
5756nnred 10576 . . . . . . 7
58 simpllr 760 . . . . . . . 8
5958nn0red 10878 . . . . . . 7
60 max2 11417 . . . . . . 7
6157, 59, 60syl2anc 661 . . . . . 6
62 simplr 755 . . . . . . . . 9
63 n2dvds1 14035 . . . . . . . . . . . 12
64 1z 10919 . . . . . . . . . . . . 13
65 dvdsnegb 14001 . . . . . . . . . . . . 13
6631, 64, 65mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
6763, 66mtbi 298 . . . . . . . . . . 11
68 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 2nn 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7256nnnn0d 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7358, 72ifcld 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7471, 73nnexpcld 12331 . . . . . . . . . . . . . . 15
7569, 74nndivred 10609 . . . . . . . . . . . . . 14
76 1red 9632 . . . . . . . . . . . . . 14
7768zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7874nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 2cnd 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 2ne0 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8273nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8379, 81, 82expne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8477, 78, 83divnegd 10358 . . . . . . . . . . . . . . 15
8573nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8674nnred 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
87 max1 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8857, 59, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89 uzid 11124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9031, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
91 bernneq3 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9290, 73, 91sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9385, 86, 92ltled 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9457, 85, 86, 88, 93letrd 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9578mulid1d 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9694, 95breqtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9774nnrpd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9857, 76, 97ledivmuld 11334 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9996, 98mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15
10084, 99eqbrtrd 4472 . . . . . . . . . . . . . 14
10175, 76, 100lenegcon1d 10159 . . . . . . . . . . . . 13
10256nngt0d 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10374nngt0d 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10457, 86, 102, 103divgt0d 10506 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105104, 84breqtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . . . 15
10675lt0neg1d 10147 . . . . . . . . . . . . . . 15
107105, 106mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
108 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . 15
109 neg1cn 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15
110 1pneg1e0 10669 . . . . . . . . . . . . . . 15
111108, 109, 110addcomli 9793 . . . . . . . . . . . . . 14
112107, 111syl6breqr 4492 . . . . . . . . . . . . 13
113 neg1z 10925 . . . . . . . . . . . . . 14
114 flbi 11952 . . . . . . . . . . . . . 14
11575, 113, 114sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
116101, 112, 115mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . 12
117116breq2d 4464 . . . . . . . . . . 11
11867, 117mtbiri 303 . . . . . . . . . 10
119 bitsval2 14075 . . . . . . . . . . 11
12068, 73, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
121118, 120mpbird 232 . . . . . . . . 9
12262, 121sseldd 3504 . . . . . . . 8
123 elfzolt2 11837 . . . . . . . 8
124122, 123syl 16 . . . . . . 7
12585, 59ltnled 9753 . . . . . . 7
126124, 125mpbid 210 . . . . . 6
12761, 126pm2.65da 576 . . . . 5
128127intnand 916 . . . 4
129 simpll 753 . . . . . 6
130 elznn0nn 10903 . . . . . 6
131129, 130sylib 196 . . . . 5
132131ord 377 . . . 4
133128, 132mt3d 125 . . 3
134 simplr 755 . . 3
135 simpr 461 . . 3
136 eqid 2457 . . 3
137133, 134, 135, 136bitsfzolem 14084 . 2
13855, 137impbida 832 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {crab 2811  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfzo 11824   cfl 11927   cexp 12166   cdvds 13986   cbits 14069
This theorem is referenced by:  bitsfi  14087  0bits  14089  bitsinv1  14092  sadcaddlem  14107  sadaddlem  14116  sadasslem  14120  sadeq  14122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-dvds 13987  df-bits 14072
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