Theorem bitsfzolem 14084

Description: Lemma for bitsfzo 14085. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
bitsfzo.1
bitsfzo.2
bitsfzo.3
bitsfzo.4

Assertion

Ref	Expression
bitsfzolem

Distinct variable group:   ,N

Proof of Theorem bitsfzolem

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsfzo.1	. . 3
2		nn0uz 11144	. . 3
3	1, 2	syl6eleq 2555	. 2
4		2nn 10718	. . . . 5
5	4	a1i 11	. . . 4
6		bitsfzo.2	. . . 4
7	5, 6	nnexpcld 12331	. . 3
8	7	nnzd 10993	. 2
9		bitsfzo.3	. . . . . . . 8
10	9	adantr 465	. . . . . . 7
11		n2dvds1 14035	. . . . . . . . 9
12	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
13		ssrab2 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14		bitsfzo.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
15	13, 2	sseqtri 3535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
16		nnssnn0 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
17	1	nn0red 10878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
18		2re 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
20		1lt2 10727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
22		expnbnd 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
24		ssrexv 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
25	16, 23, 24	mpsyl 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
26		rabn0 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27	25, 26	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28		infmssuzcl 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	15, 27, 28	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	14, 29	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	13, 30	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34		0red 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35	6	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37	36	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38	33	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
40	39	nn0ge0d 10880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
42	41, 39	reexpcld 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
44	5, 31	nnexpcld 12331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
45	44	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
46	45	nnred 10576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
47		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
49		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
50	49	breq2d 4464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
51		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
52	51	breq2d 4464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
53	52	cbvrabv 3108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
54	50, 53	elrab2 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
55	54	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
56	48, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
57	42, 43, 46, 47, 56	lelttrd 9761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
58	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
59	41, 36, 33, 58	ltexp2d 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	57, 59	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	34, 37, 38, 40, 60	lelttrd 9761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		elnnz 10899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63	33, 61, 62	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		nnm1nn0 10862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	12, 65	nnexpcld 12331	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	66	nncnd 10577	. . . . . . . . . . . . . 14
68	67	mulid2d 9635	. . . . . . . . . . . . 13
69	38	ltm1d 10503	. . . . . . . . . . . . . . . 16
70	65	nn0red 10878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
71	70, 38	ltnled 9753	. . . . . . . . . . . . . . . 16
72	69, 71	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15
73		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
74	73	breq2d 4464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
75	74, 53	elrab2 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
76		infmssuzle 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77	15, 76	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
78	14, 77	syl5eqbr 4485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
80	75, 79	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16
81	65, 80	mpand 675	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	72, 81	mtod 177	. . . . . . . . . . . . . 14
83	66	nnred 10576	. . . . . . . . . . . . . . 15
84	83, 43	lenltd 9752	. . . . . . . . . . . . . 14
85	82, 84	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13
86	68, 85	eqbrtrd 4472	. . . . . . . . . . . 12
87		1red 9632	. . . . . . . . . . . . 13
88		2rp 11254	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
90		1z 10919	. . . . . . . . . . . . . . . 16
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
92	33, 91	zsubcld 10999	. . . . . . . . . . . . . 14
93	89, 92	rpexpcld 12333	. . . . . . . . . . . . 13
94	87, 43, 93	lemuldivd 11330	. . . . . . . . . . . 12
95	86, 94	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11
96		2cn 10631	. . . . . . . . . . . . . . 15
97		expm1t 12194	. . . . . . . . . . . . . . 15
98	96, 63, 97	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14
99	56, 98	breqtrd 4476	. . . . . . . . . . . . 13
100	43, 41, 93	ltdivmuld 11332	. . . . . . . . . . . . 13
101	99, 100	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12
102		df-2 10619	. . . . . . . . . . . 12
103	101, 102	syl6breq 4491	. . . . . . . . . . 11
104	43, 93	rerpdivcld 11312	. . . . . . . . . . . 12
105		flbi 11952	. . . . . . . . . . . 12
106	104, 90, 105	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11
107	95, 103, 106	mpbir2and 922	. . . . . . . . . 10
108	107	breq2d 4464	. . . . . . . . 9
109	11, 108	mtbiri 303	. . . . . . . 8
110	1	nn0zd 10992	. . . . . . . . . 10
111	110	adantr 465	. . . . . . . . 9
112		bitsval2 14075	. . . . . . . . 9
113	111, 65, 112	syl2anc 661	. . . . . . . 8
114	109, 113	mpbird 232	. . . . . . 7
115	10, 114	sseldd 3504	. . . . . 6
116		elfzolt2 11837	. . . . . 6
117	115, 116	syl 16	. . . . 5
118		zlem1lt 10940	. . . . . 6
119	33, 36, 118	syl2anc 661	. . . . 5
120	117, 119	mpbird 232	. . . 4
121	37, 38	ltnled 9753	. . . . 5
122	60, 121	mpbid 210	. . . 4
123	120, 122	pm2.65da 576	. . 3
124	7	nnred 10576	. . . 4
125	17, 124	ltnled 9753	. . 3
126	123, 125	mpbird 232	. 2
127		elfzo2 11832	. 2
128	3, 8, 126, 127	syl3anbrc 1180	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  crp 11249  cfzo 11824  cfl 11927  cexp 12166  cdvds 13986  cbits 14069

This theorem is referenced by:  bitsfzo  14085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-dvds 13987  df-bits 14072