MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv1 Unicode version

Theorem bitsinv1 14092
Description: There is an explicit inverse to the function for nonnegative integers (which can be extended to negative integers using bitscmp 14088), part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv1
Distinct variable group:   ,N

Proof of Theorem bitsinv1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
2 fzo0 11849 . . . . . . . . . . 11
31, 2syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
43ineq2d 3699 . . . . . . . . 9
5 in0 3811 . . . . . . . . 9
64, 5syl6eq 2514 . . . . . . . 8
76sumeq1d 13523 . . . . . . 7
8 sum0 13543 . . . . . . 7
97, 8syl6eq 2514 . . . . . 6
10 oveq2 6304 . . . . . . . 8
11 2cn 10631 . . . . . . . . 9
12 exp0 12170 . . . . . . . . 9
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8
1410, 13syl6eq 2514 . . . . . . 7
1514oveq2d 6312 . . . . . 6
169, 15eqeq12d 2479 . . . . 5
1716imbi2d 316 . . . 4
18 oveq2 6304 . . . . . . . 8
1918ineq2d 3699 . . . . . . 7
2019sumeq1d 13523 . . . . . 6
21 oveq2 6304 . . . . . . 7
2221oveq2d 6312 . . . . . 6
2320, 22eqeq12d 2479 . . . . 5
2423imbi2d 316 . . . 4
25 oveq2 6304 . . . . . . . 8
2625ineq2d 3699 . . . . . . 7
2726sumeq1d 13523 . . . . . 6
28 oveq2 6304 . . . . . . 7
2928oveq2d 6312 . . . . . 6
3027, 29eqeq12d 2479 . . . . 5
3130imbi2d 316 . . . 4
32 oveq2 6304 . . . . . . . 8
3332ineq2d 3699 . . . . . . 7
3433sumeq1d 13523 . . . . . 6
35 oveq2 6304 . . . . . . 7
3635oveq2d 6312 . . . . . 6
3734, 36eqeq12d 2479 . . . . 5
3837imbi2d 316 . . . 4
39 nn0z 10912 . . . . . 6
40 zmod10 12012 . . . . . 6
4139, 40syl 16 . . . . 5
4241eqcomd 2465 . . . 4
43 oveq1 6303 . . . . . . 7
44 fzonel 11841 . . . . . . . . . . . . 13
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
46 disjsn 4090 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
4847ineq2d 3699 . . . . . . . . . 10
49 inindi 3714 . . . . . . . . . 10
5048, 49, 53eqtr3g 2521 . . . . . . . . 9
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
52 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . . . 13
5351, 52syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . 12
54 fzosplitsn 11918 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11
5655ineq2d 3699 . . . . . . . . . 10
57 indi 3743 . . . . . . . . . 10
5856, 57syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
59 fzofi 12084 . . . . . . . . . . 11
60 inss2 3718 . . . . . . . . . . 11
61 ssfi 7760 . . . . . . . . . . 11
6259, 60, 61mp2an 672 . . . . . . . . . 10
6362a1i 11 . . . . . . . . 9
64 2nn 10718 . . . . . . . . . . . 12
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11
66 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
6760, 66sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . 13
68 elfzouz 11833 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7069, 52syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . 11
7165, 70nnexpcld 12331 . . . . . . . . . 10
7271nncnd 10577 . . . . . . . . 9
7350, 58, 63, 72fsumsplit 13562 . . . . . . . 8
74 bitsinv1lem 14091 . . . . . . . . . 10
7539, 74sylan 471 . . . . . . . . 9
76 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . 11
77 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . 11
78 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
7978snssd 4175 . . . . . . . . . . . . . 14
80 dfss1 3702 . . . . . . . . . . . . . 14
8179, 80sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
8281sumeq1d 13523 . . . . . . . . . . . 12
83 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13
8464a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584, 83nnexpcld 12331 . . . . . . . . . . . . . 14
8685nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . 13
87 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
8887sumsn 13563 . . . . . . . . . . . . 13
8983, 86, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
9082, 89eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
91 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
92 disjsn 4090 . . . . . . . . . . . . . 14
9391, 92sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
9493sumeq1d 13523 . . . . . . . . . . . 12
9594, 8syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
9676, 77, 90, 95ifbothda 3976 . . . . . . . . . 10
9796oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
9875, 97eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
9973, 98eqeq12d 2479 . . . . . . 7
10043, 99syl5ibr 221 . . . . . 6
101100expcom 435 . . . . 5
102101a2d 26 . . . 4
10317, 24, 31, 38, 42, 102nn0ind 10984 . . 3
104103pm2.43i 47 . 2
105 id 22 . . . . . . 7
106105, 52syl6eleq 2555 . . . . . 6
10764a1i 11 . . . . . . . 8
108107, 105nnexpcld 12331 . . . . . . 7
109108nnzd 10993 . . . . . 6
110 2z 10921 . . . . . . . 8
111 uzid 11124 . . . . . . . 8
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . 7
113 bernneq3 12294 . . . . . . 7
114112, 113mpan 670 . . . . . 6
115 elfzo2 11832 . . . . . 6
116106, 109, 114, 115syl3anbrc 1180 . . . . 5
117 bitsfzo 14085 . . . . . 6
11839, 105, 117syl2anc 661 . . . . 5
119116, 118mpbid 210 . . . 4
120 df-ss 3489 . . . 4
121119, 120sylib 196 . . 3
122121sumeq1d 13523 . 2
123 nn0re 10829 . . 3
124 2rp 11254 . . . . 5
125124a1i 11 . . . 4
126125, 39rpexpcld 12333 . . 3
127 nn0ge0 10846 . . 3
128 modid 12020 . . 3
129123, 126, 127, 114, 128syl22anc 1229 . 2
130104, 122, 1293eqtr3d 2506 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  {csn 4029   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfzo 11824   cmo 11996   cexp 12166  sum_csu 13508   cbits 14069
This theorem is referenced by:  bitsinv2  14093  bitsf1ocnv  14094  eulerpartlemgc  28301  eulerpartlemgs2  28319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072
  Copyright terms: Public domain W3C validator