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Theorem bitsinv1lem 14091
Description: Lemma for bitsinv1 14092. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv1lem

Proof of Theorem bitsinv1lem
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . 3
21eqeq2d 2471 . 2
3 oveq2 6304 . . 3
43eqeq2d 2471 . 2
5 simpl 457 . . . . . . 7
6 2nn 10718 . . . . . . . . 9
76a1i 11 . . . . . . . 8
8 simpr 461 . . . . . . . 8
97, 8nnexpcld 12331 . . . . . . 7
105, 9zmodcld 12016 . . . . . 6
1110nn0cnd 10879 . . . . 5
1211adantr 465 . . . 4
13 1nn0 10836 . . . . . . . . . 10
1413a1i 11 . . . . . . . . 9
158, 14nn0addcld 10881 . . . . . . . 8
167, 15nnexpcld 12331 . . . . . . 7
175, 16zmodcld 12016 . . . . . 6
1817nn0cnd 10879 . . . . 5
1918adantr 465 . . . 4
2012, 19pncan3d 9957 . . 3
2118, 11subcld 9954 . . . . . 6
2221adantr 465 . . . . 5
236a1i 11 . . . . . . 7
24 simplr 755 . . . . . . 7
2523, 24nnexpcld 12331 . . . . . 6
2625nncnd 10577 . . . . 5
27 2cnd 10633 . . . . . . 7
28 2ne0 10653 . . . . . . . 8
2928a1i 11 . . . . . . 7
308nn0zd 10992 . . . . . . 7
3127, 29, 30expne0d 12316 . . . . . 6
3231adantr 465 . . . . 5
33 2z 10921 . . . . . . . . . . 11
34 dvds0 13999 . . . . . . . . . . 11
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
36 id 22 . . . . . . . . . 10
3735, 36syl5breqr 4488 . . . . . . . . 9
38 bitsval2 14075 . . . . . . . . . . 11
395zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . 15
409nnrpd 11284 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 moddiffl 12007 . . . . . . . . . . . . . . 15
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
4342breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . 13
4433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
45 moddifz 12008 . . . . . . . . . . . . . . 15
4639, 40, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
475zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4847, 11, 18nnncan1d 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5047, 11subcld 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5147, 18subcld 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
529nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5350, 51, 52, 31divsubdird 10384 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5449, 53eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15
5527, 51mulcomd 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5627, 52mulcomd 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5727, 8expp1d 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5856, 57eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5955, 58oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6051, 52, 27, 31, 29divcan5d 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6116nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6230peano2zd 10997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6327, 29, 62expne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6451, 27, 61, 63div23d 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6559, 60, 643eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6616nnrpd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67 moddifz 12008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6839, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968, 44zmulcld 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7065, 69eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7146, 70zsubcld 10999 . . . . . . . . . . . . . . 15
7254, 71eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . 14
73 dvdsmul2 14006 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7468, 44, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
7547, 18, 11nnncan2d 9989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7675oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7750, 21, 52, 31divsubdird 10384 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7876, 77, 653eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15
7974, 78breqtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . . 14
80 dvdssub2 14023 . . . . . . . . . . . . . 14
8144, 46, 72, 79, 80syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13
8243, 81bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12
8382notbid 294 . . . . . . . . . . 11
8438, 83bitrd 253 . . . . . . . . . 10
8584con2bid 329 . . . . . . . . 9
8637, 85syl5ib 219 . . . . . . . 8
8786con2d 115 . . . . . . 7
88 df-neg 9831 . . . . . . . . . . . . . . 15
8952mulm1d 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
909nnred 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9190renegcld 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9239, 40modcld 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9392renegcld 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9439, 66modcld 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9594, 92resubcld 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96 modlt 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9739, 40, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9892, 90ltnegd 10155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9997, 98mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
100 df-neg 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102 modge0 12005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10339, 66, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104101, 94, 92, 103lesub1dd 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105100, 104syl5eqbr 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10691, 93, 95, 99, 105ltletrd 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10789, 106eqbrtrd 4472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108 1red 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109108renegcld 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110109, 95, 40ltmuldivd 11328 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111107, 110mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15
11288, 111syl5eqbrr 4486 . . . . . . . . . . . . . 14
113 0zd 10901 . . . . . . . . . . . . . . 15
114 zlem1lt 10940 . . . . . . . . . . . . . . 15
115113, 72, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
116112, 115mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13
117 elnn0z 10902 . . . . . . . . . . . . 13
11872, 116, 117sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12
119 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . . 12
120118, 119syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . 11
12116nnred 10576 . . . . . . . . . . . . . 14
122 modge0 12005 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12339, 40, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
12494, 92subge02d 10169 . . . . . . . . . . . . . . 15
125123, 124mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
126 modlt 12006 . . . . . . . . . . . . . . 15
12739, 66, 126syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
12895, 94, 121, 125, 127lelttrd 9761 . . . . . . . . . . . . 13
129128, 57breqtrd 4476 . . . . . . . . . . . 12
1307nnred 10576 . . . . . . . . . . . . 13
13195, 130, 40ltdivmuld 11332 . . . . . . . . . . . 12
132129, 131mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
133 elfzo2 11832 . . . . . . . . . . 11
134120, 44, 132, 133syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . 10
135 fzo0to2pr 11899 . . . . . . . . . 10
136134, 135syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9
137 elpri 4049 . . . . . . . . 9
138136, 137syl 16 . . . . . . . 8
139138ord 377 . . . . . . 7
14087, 139syld 44 . . . . . 6
141140imp 429 . . . . 5
14222, 26, 32, 141diveq1d 10353 . . . 4
143142oveq2d 6312 . . 3
14420, 143eqtr3d 2500 . 2
14518adantr 465 . . . 4
14611adantr 465 . . . 4
14721adantr 465 . . . . 5
14852adantr 465 . . . . 5
14931adantr 465 . . . . 5
150 n2dvds1 14035 . . . . . . . . . 10
151 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
152150, 151mtbiri 303 . . . . . . . . 9
153139, 152syl6 33 . . . . . . . 8
154153, 84sylibrd 234 . . . . . . 7
155154con1d 124 . . . . . 6
156155imp 429 . . . . 5
157147, 148, 149, 156diveq0d 10352 . . . 4
158145, 146, 157subeq0d 9962 . . 3
159146addid1d 9801 . . 3
160158, 159eqtr4d 2501 . 2
1612, 4, 144, 160ifbothda 3976 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  ifcif 3941  {cpr 4031   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfzo 11824   cfl 11927   cmo 11996   cexp 12166   cdvds 13986   cbits 14069
This theorem is referenced by:  bitsinv1  14092  smumullem  14142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-dvds 13987  df-bits 14072
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