Theorem bitsinv1lem 14091

Description: Lemma for bitsinv1 14092. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1lem

Proof of Theorem bitsinv1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . 3
2	1	eqeq2d 2471	. 2
3		oveq2 6304	. . 3
4	3	eqeq2d 2471	. 2
5		simpl 457	. . . . . . 7
6		2nn 10718	. . . . . . . . 9
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8
8		simpr 461	. . . . . . . 8
9	7, 8	nnexpcld 12331	. . . . . . 7
10	5, 9	zmodcld 12016	. . . . . 6
11	10	nn0cnd 10879	. . . . 5
12	11	adantr 465	. . . 4
13		1nn0 10836	. . . . . . . . . 10
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9
15	8, 14	nn0addcld 10881	. . . . . . . 8
16	7, 15	nnexpcld 12331	. . . . . . 7
17	5, 16	zmodcld 12016	. . . . . 6
18	17	nn0cnd 10879	. . . . 5
19	18	adantr 465	. . . 4
20	12, 19	pncan3d 9957	. . 3
21	18, 11	subcld 9954	. . . . . 6
22	21	adantr 465	. . . . 5
23	6	a1i 11	. . . . . . 7
24		simplr 755	. . . . . . 7
25	23, 24	nnexpcld 12331	. . . . . 6
26	25	nncnd 10577	. . . . 5
27		2cnd 10633	. . . . . . 7
28		2ne0 10653	. . . . . . . 8
29	28	a1i 11	. . . . . . 7
30	8	nn0zd 10992	. . . . . . 7
31	27, 29, 30	expne0d 12316	. . . . . 6
32	31	adantr 465	. . . . 5
33		2z 10921	. . . . . . . . . . 11
34		dvds0 13999	. . . . . . . . . . 11
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
36		id 22	. . . . . . . . . 10
37	35, 36	syl5breqr 4488	. . . . . . . . 9
38		bitsval2 14075	. . . . . . . . . . 11
39	5	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	9	nnrpd 11284	. . . . . . . . . . . . . . 15
41		moddiffl 12007	. . . . . . . . . . . . . . 15
42	39, 40, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
43	42	breq2d 4464	. . . . . . . . . . . . 13
44	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
45		moddifz 12008	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	39, 40, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
47	5	zcnd 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47, 11, 18	nnncan1d 9988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49	48	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50	47, 11	subcld 9954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
51	47, 18	subcld 9954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
52	9	nncnd 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
53	50, 51, 52, 31	divsubdird 10384	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54	49, 53	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	27, 51	mulcomd 9638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
56	27, 52	mulcomd 9638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	27, 8	expp1d 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
58	56, 57	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59	55, 58	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60	51, 52, 27, 31, 29	divcan5d 10371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61	16	nncnd 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62	30	peano2zd 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63	27, 29, 62	expne0d 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64	51, 27, 61, 63	div23d 10382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65	59, 60, 64	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
66	16	nnrpd 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67		moddifz 12008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68	39, 66, 67	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69	68, 44	zmulcld 11000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
70	65, 69	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71	46, 70	zsubcld 10999	. . . . . . . . . . . . . . 15
72	54, 71	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . . 14
73		dvdsmul2 14006	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	68, 44, 73	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
75	47, 18, 11	nnncan2d 9989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
76	75	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . 16
77	50, 21, 52, 31	divsubdird 10384	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78	76, 77, 65	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	74, 78	breqtrrd 4478	. . . . . . . . . . . . . 14
80		dvdssub2 14023	. . . . . . . . . . . . . 14
81	44, 46, 72, 79, 80	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . 13
82	43, 81	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . 12
83	82	notbid 294	. . . . . . . . . . 11
84	38, 83	bitrd 253	. . . . . . . . . 10
85	84	con2bid 329	. . . . . . . . 9
86	37, 85	syl5ib 219	. . . . . . . 8
87	86	con2d 115	. . . . . . 7
88		df-neg 9831	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	52	mulm1d 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
90	9	nnred 10576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
91	90	renegcld 10011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92	39, 40	modcld 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	92	renegcld 10011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94	39, 66	modcld 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95	94, 92	resubcld 10012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96		modlt 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
97	39, 40, 96	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98	92, 90	ltnegd 10155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99	97, 98	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
100		df-neg 9831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101		0red 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102		modge0 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103	39, 66, 102	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104	101, 94, 92, 103	lesub1dd 10193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105	100, 104	syl5eqbr 4485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106	91, 93, 95, 99, 105	ltletrd 9763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
107	89, 106	eqbrtrd 4472	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108		1red 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109	108	renegcld 10011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109, 95, 40	ltmuldivd 11328	. . . . . . . . . . . . . . . 16
111	107, 110	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15
112	88, 111	syl5eqbrr 4486	. . . . . . . . . . . . . 14
113		0zd 10901	. . . . . . . . . . . . . . 15
114		zlem1lt 10940	. . . . . . . . . . . . . . 15
115	113, 72, 114	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
116	112, 115	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13
117		elnn0z 10902	. . . . . . . . . . . . 13
118	72, 116, 117	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . 12
119		nn0uz 11144	. . . . . . . . . . . 12
120	118, 119	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . 11
121	16	nnred 10576	. . . . . . . . . . . . . 14
122		modge0 12005	. . . . . . . . . . . . . . . 16
123	39, 40, 122	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
124	94, 92	subge02d 10169	. . . . . . . . . . . . . . 15
125	123, 124	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14
126		modlt 12006	. . . . . . . . . . . . . . 15
127	39, 66, 126	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
128	95, 94, 121, 125, 127	lelttrd 9761	. . . . . . . . . . . . 13
129	128, 57	breqtrd 4476	. . . . . . . . . . . 12
130	7	nnred 10576	. . . . . . . . . . . . 13
131	95, 130, 40	ltdivmuld 11332	. . . . . . . . . . . 12
132	129, 131	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11
133		elfzo2 11832	. . . . . . . . . . 11
134	120, 44, 132, 133	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . 10
135		fzo0to2pr 11899	. . . . . . . . . 10
136	134, 135	syl6eleq 2555	. . . . . . . . 9
137		elpri 4049	. . . . . . . . 9
138	136, 137	syl 16	. . . . . . . 8
139	138	ord 377	. . . . . . 7
140	87, 139	syld 44	. . . . . 6
141	140	imp 429	. . . . 5
142	22, 26, 32, 141	diveq1d 10353	. . . 4
143	142	oveq2d 6312	. . 3
144	20, 143	eqtr3d 2500	. 2
145	18	adantr 465	. . . 4
146	11	adantr 465	. . . 4
147	21	adantr 465	. . . . 5
148	52	adantr 465	. . . . 5
149	31	adantr 465	. . . . 5
150		n2dvds1 14035	. . . . . . . . . 10
151		breq2 4456	. . . . . . . . . 10
152	150, 151	mtbiri 303	. . . . . . . . 9
153	139, 152	syl6 33	. . . . . . . 8
154	153, 84	sylibrd 234	. . . . . . 7
155	154	con1d 124	. . . . . 6
156	155	imp 429	. . . . 5
157	147, 148, 149, 156	diveq0d 10352	. . . 4
158	145, 146, 157	subeq0d 9962	. . 3
159	146	addid1d 9801	. . 3
160	158, 159	eqtr4d 2501	. 2
161	2, 4, 144, 160	ifbothda 3976	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  ifcif 3941  {cpr 4031   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  -ucneg 9829  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  crp 11249  cfzo 11824  cfl 11927  cmo 11996  cexp 12166  cdvds 13986  cbits 14069

This theorem is referenced by:  bitsinv1  14092  smumullem  14142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-dvds 13987  df-bits 14072