MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinvp1 Unicode version

Theorem bitsinvp1 14099
Description: Recursive definition of the inverse of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
bitsinv.k
Assertion
Ref Expression
bitsinvp1

Proof of Theorem bitsinvp1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzonel 11841 . . . . . . 7
21a1i 11 . . . . . 6
3 disjsn 4090 . . . . . 6
42, 3sylibr 212 . . . . 5
54ineq2d 3699 . . . 4
6 inindi 3714 . . . 4
7 in0 3811 . . . 4
85, 6, 73eqtr3g 2521 . . 3
9 simpr 461 . . . . . . 7
10 nn0uz 11144 . . . . . . 7
119, 10syl6eleq 2555 . . . . . 6
12 fzosplitsn 11918 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5
1413ineq2d 3699 . . . 4
15 indi 3743 . . . 4
1614, 15syl6eq 2514 . . 3
17 fzofi 12084 . . . . 5
1817a1i 11 . . . 4
19 inss2 3718 . . . 4
20 ssfi 7760 . . . 4
2118, 19, 20sylancl 662 . . 3
22 2nn 10718 . . . . . 6
2322a1i 11 . . . . 5
24 inss1 3717 . . . . . . 7
25 simpl 457 . . . . . . 7
2624, 25syl5ss 3514 . . . . . 6
2726sselda 3503 . . . . 5
2823, 27nnexpcld 12331 . . . 4
2928nncnd 10577 . . 3
308, 16, 21, 29fsumsplit 13562 . 2
31 elfpw 7842 . . . 4
3226, 21, 31sylanbrc 664 . . 3
33 bitsinv.k . . . 4
3433bitsinv 14098 . . 3
3532, 34syl 16 . 2
36 inss1 3717 . . . . . 6
3736, 25syl5ss 3514 . . . . 5
38 fzofi 12084 . . . . . . 7
3938a1i 11 . . . . . 6
40 inss2 3718 . . . . . 6
41 ssfi 7760 . . . . . 6
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . 5
43 elfpw 7842 . . . . 5
4437, 42, 43sylanbrc 664 . . . 4
4533bitsinv 14098 . . . 4
4644, 45syl 16 . . 3
47 snssi 4174 . . . . . . . 8
4847adantl 466 . . . . . . 7
49 dfss1 3702 . . . . . . 7
5048, 49sylib 196 . . . . . 6
5150sumeq1d 13523 . . . . 5
52 simpr 461 . . . . . 6
5322a1i 11 . . . . . . . 8
54 simplr 755 . . . . . . . 8
5553, 54nnexpcld 12331 . . . . . . 7
5655nncnd 10577 . . . . . 6
57 oveq2 6304 . . . . . . 7
5857sumsn 13563 . . . . . 6
5952, 56, 58syl2anc 661 . . . . 5
6051, 59eqtr2d 2499 . . . 4
61 simpr 461 . . . . . . 7
62 disjsn 4090 . . . . . . 7
6361, 62sylibr 212 . . . . . 6
6463sumeq1d 13523 . . . . 5
65 sum0 13543 . . . . 5
6664, 65syl6req 2515 . . . 4
6760, 66ifeqda 3974 . . 3
6846, 67oveq12d 6314 . 2
6930, 35, 683eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  {csn 4029  `'ccnv 5003  |`cres 5006  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cuz 11110   cfzo 11824   cexp 12166  sum_csu 13508   cbits 14069
This theorem is referenced by:  sadcaddlem  14107  sadadd2lem  14109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072
  Copyright terms: Public domain W3C validator