Theorem boxcutc 7532

Description: The relative complement of a box set restricted on one axis. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
boxcutc

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem boxcutc

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3625	. . 3
2	1	adantl 466	. 2
3		sseq1 3524	. . . . . 6
4		sseq1 3524	. . . . . 6
5		difss 3630	. . . . . 6
6		ssid 3522	. . . . . 6
7	3, 4, 5, 6	keephyp 4006	. . . . 5
8	7	rgenw 2818	. . . 4
9		ss2ixp 7502	. . . 4
10	8, 9	mp1i 12	. . 3
11	10	sselda 3503	. 2
12		ixpfn 7495	. . . . . . . . 9
13	12	adantl 466	. . . . . . . 8
14	13	biantrurd 508	. . . . . . 7
15		vex 3112	. . . . . . . 8
16	15	elixp 7496	. . . . . . 7
17	14, 16	syl6rbbr 264	. . . . . 6
18	17	notbid 294	. . . . 5
19		rexnal 2905	. . . . . 6
20		eleq2 2530	. . . . . . . . . 10
21		eleq2 2530	. . . . . . . . . 10
22		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
24		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
25	15	elixp 7496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	25	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
27		nfv 1707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
28		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
29	28	nfel2 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
30		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
31		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
32	30, 31	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33	27, 29, 32	cbvral 3080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
34	26, 33	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
35		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
36		csbeq1 3437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
37	35, 36	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
38	37	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
39	24, 34, 38	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
40		neldif 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
41	39, 40	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43		csbeq1 3437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
44	35, 43	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
45	42, 44	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
46	45	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47	34	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48	47	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49	48	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50	22, 23, 46, 49	ifbothda 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51	50	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
52		dfral2 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
53	51, 52	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54	53	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	54	con4d 105	. . . . . . . . . . . . . 14
56	55	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
58		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
59		csbeq1 3437	. . . . . . . . . . . . . 14
60		csbeq1 3437	. . . . . . . . . . . . . 14
61	59, 60	difeq12d 3622	. . . . . . . . . . . . 13
62	58, 61	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . . 12
63	57, 62	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11
64	63	imp 429	. . . . . . . . . 10
65		nfv 1707	. . . . . . . . . . . . . . 15
66		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	66	nfel2 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15
68		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . . . . . 16
70	68, 69	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	65, 67, 70	cbvral 3080	. . . . . . . . . . . . . 14
72	26, 71	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
73	72	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12
74	73	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . . 11
75	74	adantr 465	. . . . . . . . . 10
76	20, 21, 64, 75	ifbothda 3976	. . . . . . . . 9
77	76	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8
78		simplll 759	. . . . . . . . 9
79		simpll 753	. . . . . . . . . . 11
80		iftrue 3947	. . . . . . . . . . . . . 14
81	80, 61	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . 13
82	58, 81	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . . 12
83	82	rspcva 3208	. . . . . . . . . . 11
84	79, 83	sylan 471	. . . . . . . . . 10
85	84	eldifbd 3488	. . . . . . . . 9
86		iftrue 3947	. . . . . . . . . . . . 13
87	86, 43	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . 12
88	35, 87	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . 11
89	88	notbid 294	. . . . . . . . . 10
90	89	rspcev 3210	. . . . . . . . 9
91	78, 85, 90	syl2anc 661	. . . . . . . 8
92	77, 91	impbida 832	. . . . . . 7
93		nfv 1707	. . . . . . . 8
94		nfv 1707	. . . . . . . . . . 11
95		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . 11
96	94, 95, 28	nfif 3970	. . . . . . . . . 10
97	96	nfel2 2637	. . . . . . . . 9
98	97	nfn 1901	. . . . . . . 8
99		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . 11
100		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . 11
101	99, 100, 31	ifbieq12d 3968	. . . . . . . . . 10
102	30, 101	eleq12d 2539	. . . . . . . . 9
103	102	notbid 294	. . . . . . . 8
104	93, 98, 103	cbvrex 3081	. . . . . . 7
105		nfv 1707	. . . . . . . 8
106		nfv 1707	. . . . . . . . . 10
107		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . 11
108	66, 107	nfdif 3624	. . . . . . . . . 10
109	106, 108, 66	nfif 3970	. . . . . . . . 9
110	109	nfel2 2637	. . . . . . . 8
111		eqeq1 2461	. . . . . . . . . 10
112		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . 11
113	69, 112	difeq12d 3622	. . . . . . . . . 10
114	111, 113, 69	ifbieq12d 3968	. . . . . . . . 9
115	68, 114	eleq12d 2539	. . . . . . . 8
116	105, 110, 115	cbvral 3080	. . . . . . 7
117	92, 104, 116	3bitr4g 288	. . . . . 6
118	19, 117	syl5bbr 259	. . . . 5
119	18, 118	bitrd 253	. . . 4
120		ibar 504	. . . . 5
121	120	adantl 466	. . . 4
122	13	biantrurd 508	. . . 4
123	119, 121, 122	3bitr3d 283	. . 3
124		eldif 3485	. . 3
125	15	elixp 7496	. . 3
126	123, 124, 125	3bitr4g 288	. 2
127	2, 11, 126	eqrdav 2455	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  \cdif 3472  C_wss 3475  ifcif 3941  Fnwfn 5588  `cfv 5593  X_cixp 7489

This theorem is referenced by:  ptcld  20114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-ixp 7490