Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bpolysum Unicode version

Theorem bpolysum 27898
Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolysum
Distinct variable groups:   ,N   ,

Proof of Theorem bpolysum
StepHypRef Expression
1 simpl 447 . . . 4
2 nn0uz 10840 . . . 4
31, 2syl6eleq 2512 . . 3
4 elfzelz 11397 . . . . . 6
5 bccl 12039 . . . . . 6
61, 4, 5syl2an 467 . . . . 5
76nn0cnd 10583 . . . 4
8 elfznn0 11425 . . . . . 6
9 simpr 451 . . . . . 6
10 bpolycl 27897 . . . . . 6
118, 9, 10syl2anr 468 . . . . 5
12 fznn0sub 11431 . . . . . . . 8
1312adantl 456 . . . . . . 7
14 nn0p1nn 10565 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6
1615nncnd 10284 . . . . 5
1715nnne0d 10312 . . . . 5
1811, 16, 17divcld 10053 . . . 4
197, 18mulcld 9352 . . 3
20 oveq2 6069 . . . 4
21 oveq1 6068 . . . . 5
22 oveq2 6069 . . . . . 6
2322oveq1d 6076 . . . . 5
2421, 23oveq12d 6079 . . . 4
2520, 24oveq12d 6079 . . 3
263, 19, 25fsumm1 13161 . 2
27 bcnn 12029 . . . . . 6
2827adantr 455 . . . . 5
29 nn0cn 10535 . . . . . . . . . . 11
3029adantr 455 . . . . . . . . . 10
3130subidd 9653 . . . . . . . . 9
3231oveq1d 6076 . . . . . . . 8
33 0p1e1 10379 . . . . . . . 8
3432, 33syl6eq 2470 . . . . . . 7
3534oveq2d 6077 . . . . . 6
36 bpolycl 27897 . . . . . . 7
3736div1d 10045 . . . . . 6
3835, 37eqtrd 2454 . . . . 5
3928, 38oveq12d 6079 . . . 4
4036mulid2d 9350 . . . 4
4139, 40eqtrd 2454 . . 3
4241oveq2d 6077 . 2
43 bpolyval 27894 . . . 4
4443eqcomd 2427 . . 3
45 expcl 11824 . . . . 5
4645ancoms 443 . . . 4
47 fzfid 11736 . . . . 5
48 fzssp1 11445 . . . . . . . 8
49 ax-1cn 9286 . . . . . . . . . 10
50 npcan 9565 . . . . . . . . . 10
5130, 49, 50sylancl 647 . . . . . . . . 9
5251oveq2d 6077 . . . . . . . 8
5348, 52syl5sseq 3381 . . . . . . 7
5453sselda 3333 . . . . . 6
5554, 19syldan 460 . . . . 5
5647, 55fsumcl 13151 . . . 4
5746, 56, 36subaddd 9683 . . 3
5844, 57mpbid 204 . 2
5926, 42, 583eqtrd 2458 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   cmin 9541   cdiv 9939   cn 10268   cn0 10525   cz 10591   cuz 10806   cfz 11381   cexp 11806   cbc 12019  sum_csu 13104   cbp 27891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-exp 11807  df-fac 11993  df-bc 12020  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-sum 13105  df-pred 27327  df-wrecs 27419  df-bpoly 27892
  Copyright terms: Public domain W3C validator