Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  br4 Unicode version

Theorem br4 27270
Description: Substitution for a four-place predicate. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
br4.1
br4.2
br4.3
br4.4
br4.5
br4.6
Assertion
Ref Expression
br4
Distinct variable groups:   , , , , , , ,   , , , , , , ,   ,   Q, , , , ,   , , , , , , ,   , , , , , , ,   ,   , , , , ,   P, , , , , ,   S, , , , , , ,   , , , , ,   ,   , , ,

Proof of Theorem br4
StepHypRef Expression
1 opex 4528 . . 3
2 opex 4528 . . 3
3 eqeq1 2428 . . . . . . 7
433anbi1d 1278 . . . . . 6
54rexbidv 2715 . . . . 5
652rexbidv 2737 . . . 4
762rexbidv 2737 . . 3
8 eqeq1 2428 . . . . . . 7
983anbi2d 1279 . . . . . 6
109rexbidv 2715 . . . . 5
11102rexbidv 2737 . . . 4
12112rexbidv 2737 . . 3
13 br4.6 . . 3
141, 2, 7, 12, 13brab 4584 . 2
15 vex 2954 . . . . . . . . . . . 12
16 vex 2954 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16opth 4538 . . . . . . . . . . 11
18 br4.1 . . . . . . . . . . . 12
19 br4.2 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19sylan9bb 684 . . . . . . . . . . 11
2117, 20sylbi 189 . . . . . . . . . 10
2221eqcoms 2425 . . . . . . . . 9
23 vex 2954 . . . . . . . . . . . 12
24 vex 2954 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24opth 4538 . . . . . . . . . . 11
26 br4.3 . . . . . . . . . . . 12
27 br4.4 . . . . . . . . . . . 12
2826, 27sylan9bb 684 . . . . . . . . . . 11
2925, 28sylbi 189 . . . . . . . . . 10
3029eqcoms 2425 . . . . . . . . 9
3122, 30sylan9bb 684 . . . . . . . 8
3231biimp3a 1303 . . . . . . 7
3332a1i 11 . . . . . 6
3433rexlimdva 2820 . . . . 5
3534rexlimdvva 2827 . . . 4
3635rexlimdvva 2827 . . 3
37 simpl1 976 . . . . 5
38 simpl2l 1026 . . . . . 6
39 simpl2r 1027 . . . . . 6
40 simpl3l 1028 . . . . . . 7
41 simpl3r 1029 . . . . . . 7
42 eqidd 2423 . . . . . . 7
43 eqidd 2423 . . . . . . 7
44 simpr 451 . . . . . . 7
45 opeq1 4034 . . . . . . . . . 10
4645eqeq2d 2433 . . . . . . . . 9
4746, 263anbi23d 1277 . . . . . . . 8
48 opeq2 4035 . . . . . . . . . 10
4948eqeq2d 2433 . . . . . . . . 9
5049, 273anbi23d 1277 . . . . . . . 8
5147, 50rspc2ev 3059 . . . . . . 7
5240, 41, 42, 43, 44, 51syl113anc 1215 . . . . . 6
53 opeq1 4034 . . . . . . . . . 10
5453eqeq2d 2433 . . . . . . . . 9
5554, 183anbi13d 1276 . . . . . . . 8
56552rexbidv 2737 . . . . . . 7
57 opeq2 4035 . . . . . . . . . 10
5857eqeq2d 2433 . . . . . . . . 9
5958, 193anbi13d 1276 . . . . . . . 8
60592rexbidv 2737 . . . . . . 7
6156, 60rspc2ev 3059 . . . . . 6
6238, 39, 52, 61syl3anc 1203 . . . . 5
63 br4.5 . . . . . . 7
6463rexeqdv 2903 . . . . . . . . 9
6563, 64rexeqbidv 2911 . . . . . . . 8
6663, 65rexeqbidv 2911 . . . . . . 7
6763, 66rexeqbidv 2911 . . . . . 6
6867rspcev 3051 . . . . 5
6937, 62, 68syl2anc 646 . . . 4
7069ex 427 . . 3
7136, 70impbid 185 . 2
7214, 71syl5bb 251 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  E.wrex 2695  <.cop 3856   class class class wbr 4267  {copab 4324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pr 4503
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-rab 2703  df-v 2953  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-nul 3615  df-if 3769  df-sn 3859  df-pr 3860  df-op 3862  df-br 4268  df-opab 4326
  Copyright terms: Public domain W3C validator