MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom3 Unicode version

Theorem brdom3 8577
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2
Assertion
Ref Expression
brdom3
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 7279 . . . . . . . . 9
21brrelexi 4901 . . . . . . . 8
3 0sdomg 7401 . . . . . . . 8
42, 3syl 16 . . . . . . 7
5 df-ne 2654 . . . . . . 7
64, 5syl6bb 254 . . . . . 6
76biimpar 473 . . . . 5
8 fodomr 7423 . . . . . 6
98ancoms 441 . . . . 5
107, 9syldan 458 . . . 4
11 pm5.6 880 . . . 4
1210, 11mpbi 201 . . 3
13 noel 3677 . . . . . . . . 9
14 df-br 4319 . . . . . . . . 9
1513, 14mtbir 292 . . . . . . . 8
1615nex 1579 . . . . . . 7
17 exmo 2333 . . . . . . 7
1816, 17mtp-or 1556 . . . . . 6
1918ax-gen 1570 . . . . 5
20 rzal 3815 . . . . 5
21 0ex 4448 . . . . . 6
22 breq 4320 . . . . . . . . 9
2322mobidv 2365 . . . . . . . 8
2423albidv 1653 . . . . . . 7
25 breq 4320 . . . . . . . . 9
2625rexbidv 2780 . . . . . . . 8
2726ralbidv 2779 . . . . . . 7
2824, 27anbi12d 693 . . . . . 6
2921, 28spcev 3104 . . . . 5
3019, 20, 29sylancr 646 . . . 4
31 fofun 5638 . . . . . . 7
32 dffun6 5453 . . . . . . . 8
3332simprbi 452 . . . . . . 7
3431, 33syl 16 . . . . . 6
35 dffo4 5875 . . . . . . 7
3635simprbi 452 . . . . . 6
3734, 36jca 520 . . . . 5
3837eximi 1602 . . . 4
3930, 38jaoi 370 . . 3
4012, 39syl 16 . 2
41 inss1 3606 . . . . . . . . . . 11
4241ssbri 4360 . . . . . . . . . 10
4342moimi 2373 . . . . . . . . 9
4443alimi 1583 . . . . . . . 8
45 relxp 4969 . . . . . . . . . 10
46 relin2 4980 . . . . . . . . . 10
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . 9
48 dffun6 5453 . . . . . . . . 9
4947, 48mpbiran 886 . . . . . . . 8
5044, 49sylibr 205 . . . . . . 7
51 funfn 5467 . . . . . . 7
5250, 51sylib 190 . . . . . 6
53 rninxp 5298 . . . . . . 7
5453biimpri 199 . . . . . 6
5552, 54anim12i 551 . . . . 5
56 df-fo 5444 . . . . 5
5755, 56sylibr 205 . . . 4
58 vex 3018 . . . . . . 7
5958inex1 4459 . . . . . 6
6059dmex 6521 . . . . 5
6160fodom 8573 . . . 4
62 brdom3.2 . . . . . 6
63 inss2 3607 . . . . . . . 8
64 dmss 5061 . . . . . . . 8
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . 7
66 dmxpss 5290 . . . . . . 7
6765, 66sstri 3402 . . . . . 6
68 ssdomg 7317 . . . . . 6
6962, 67, 68mp2 9 . . . . 5
70 domtr 7324 . . . . 5
7169, 70mpan2 654 . . . 4
7257, 61, 713syl 19 . . 3
7372exlimiv 1662 . 2
7440, 73impbii 182 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 359  /\wa 360  A.wal 1564  E.wex 1565  =wceq 1670  e.wcel 1732  E*wmo 2314  =/=wne 2652  A.wral 2759  E.wrex 2760   cvv 3015  i^icin 3364  C_wss 3365   c0 3673  <.cop 3912   class class class wbr 4318  X.cxp 4860  domcdm 4862  rancrn 4863  Relwrel 4867  Funwfun 5432  Fnwfn 5433  -->wf 5434  -onto->wfo 5436   cdom 7271   csdm 7272
This theorem is referenced by:  brdom5  8578  brdom4  8579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-rep 4429  ax-sep 4439  ax-nul 4447  ax-pow 4493  ax-pr 4554  ax-un 6382  ax-ac2 8514
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-sb 1677  df-eu 2317  df-mo 2318  df-clab 2476  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614  df-ne 2654  df-ral 2764  df-rex 2765  df-reu 2766  df-rmo 2767  df-rab 2768  df-v 3017  df-sbc 3225  df-csb 3326  df-dif 3368  df-un 3370  df-in 3372  df-ss 3379  df-pss 3381  df-nul 3674  df-if 3826  df-pw 3895  df-sn 3915  df-pr 3916  df-tp 3917  df-op 3918  df-uni 4118  df-int 4155  df-iun 4199  df-br 4319  df-opab 4377  df-mpt 4378  df-tr 4412  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-suc 4746  df-xp 4868  df-rel 4869  df-cnv 4870  df-co 4871  df-dm 4872  df-rn 4873  df-res 4874  df-ima 4875  df-iota 5401  df-fun 5440  df-fn 5441  df-f 5442  df-f1 5443  df-fo 5444  df-f1o 5445  df-fv 5446  df-isom 5447  df-riota 6062  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6583  df-2nd 6584  df-recs 6795  df-er 7067  df-map 7182  df-en 7274  df-dom 7275  df-sdom 7276  df-card 7995  df-acn 7998  df-ac 8168
  Copyright terms: Public domain W3C validator