MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom3 Unicode version

Theorem brdom3 8642
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2
Assertion
Ref Expression
brdom3
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 7275 . . . . . . . . 9
21brrelexi 4850 . . . . . . . 8
3 0sdomg 7399 . . . . . . . 8
42, 3syl 16 . . . . . . 7
5 df-ne 2587 . . . . . . 7
64, 5syl6bb 255 . . . . . 6
76biimpar 475 . . . . 5
8 fodomr 7421 . . . . . 6
98ancoms 443 . . . . 5
107, 9syldan 460 . . . 4
11 pm5.6 888 . . . 4
1210, 11mpbi 202 . . 3
13 noel 3618 . . . . . . . . 9
14 df-br 4268 . . . . . . . . 9
1513, 14mtbir 293 . . . . . . . 8
1615nex 1595 . . . . . . 7
17 exmo 2270 . . . . . . 7
1816, 17mtpor 1571 . . . . . 6
1918ax-gen 1586 . . . . 5
20 rzal 3758 . . . . 5
21 0ex 4397 . . . . . 6
22 breq 4269 . . . . . . . . 9
2322mobidv 2265 . . . . . . . 8
2423albidv 1670 . . . . . . 7
25 breq 4269 . . . . . . . . 9
2625rexbidv 2715 . . . . . . . 8
2726ralbidv 2714 . . . . . . 7
2824, 27anbi12d 695 . . . . . 6
2921, 28spcev 3042 . . . . 5
3019, 20, 29sylancr 648 . . . 4
31 fofun 5591 . . . . . . 7
32 dffun6 5405 . . . . . . . 8
3332simprbi 454 . . . . . . 7
3431, 33syl 16 . . . . . 6
35 dffo4 5829 . . . . . . 7
3635simprbi 454 . . . . . 6
3734, 36jca 522 . . . . 5
3837eximi 1618 . . . 4
3930, 38jaoi 372 . . 3
4012, 39syl 16 . 2
41 inss1 3547 . . . . . . . . . . 11
4241ssbri 4309 . . . . . . . . . 10
4342moimi 2306 . . . . . . . . 9
4443alimi 1599 . . . . . . . 8
45 relxp 4918 . . . . . . . . . 10
46 relin2 4929 . . . . . . . . . 10
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . 9
48 dffun6 5405 . . . . . . . . 9
4947, 48mpbiran 894 . . . . . . . 8
5044, 49sylibr 206 . . . . . . 7
51 funfn 5419 . . . . . . 7
5250, 51sylib 190 . . . . . 6
53 rninxp 5249 . . . . . . 7
5453biimpri 200 . . . . . 6
5552, 54anim12i 553 . . . . 5
56 df-fo 5396 . . . . 5
5755, 56sylibr 206 . . . 4
58 vex 2954 . . . . . . 7
5958inex1 4408 . . . . . 6
6059dmex 6481 . . . . 5
6160fodom 8638 . . . 4
62 brdom3.2 . . . . . 6
63 inss2 3548 . . . . . . . 8
64 dmss 5010 . . . . . . . 8
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . 7
66 dmxpss 5241 . . . . . . 7
6765, 66sstri 3342 . . . . . 6
68 ssdomg 7314 . . . . . 6
6962, 67, 68mp2 9 . . . . 5
70 domtr 7321 . . . . 5
7169, 70mpan2 656 . . . 4
7257, 61, 713syl 19 . . 3
7372exlimiv 1679 . 2
7440, 73impbii 182 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 361  /\wa 362  A.wal 1580  E.wex 1581  =wceq 1687  e.wcel 1749  E*wmo 2245  =/=wne 2585  A.wral 2694  E.wrex 2695   cvv 2951  i^icin 3304  C_wss 3305   c0 3614  <.cop 3856   class class class wbr 4267  X.cxp 4809  domcdm 4811  rancrn 4812  Relwrel 4816  Funwfun 5384  Fnwfn 5385  -->wf 5386  -onto->wfo 5388   cdom 7267   csdm 7268
This theorem is referenced by:  brdom5  8643  brdom4  8644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-ac2 8579
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-card 8056  df-acn 8059  df-ac 8233
  Copyright terms: Public domain W3C validator