MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom3 Unicode version

Theorem brdom3 8927
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2
Assertion
Ref Expression
brdom3
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 7542 . . . . . . . . 9
21brrelexi 5045 . . . . . . . 8
3 0sdomg 7666 . . . . . . . 8
42, 3syl 16 . . . . . . 7
5 df-ne 2654 . . . . . . 7
64, 5syl6bb 261 . . . . . 6
76biimpar 485 . . . . 5
8 fodomr 7688 . . . . . 6
98ancoms 453 . . . . 5
107, 9syldan 470 . . . 4
11 pm5.6 912 . . . 4
1210, 11mpbi 208 . . 3
13 br0 4498 . . . . . . . 8
1413nex 1627 . . . . . . 7
15 exmo 2309 . . . . . . 7
1614, 15mtpor 1603 . . . . . 6
1716ax-gen 1618 . . . . 5
18 rzal 3931 . . . . 5
19 0ex 4582 . . . . . 6
20 breq 4454 . . . . . . . . 9
2120mobidv 2305 . . . . . . . 8
2221albidv 1713 . . . . . . 7
23 breq 4454 . . . . . . . . 9
2423rexbidv 2968 . . . . . . . 8
2524ralbidv 2896 . . . . . . 7
2622, 25anbi12d 710 . . . . . 6
2719, 26spcev 3201 . . . . 5
2817, 18, 27sylancr 663 . . . 4
29 fofun 5801 . . . . . . 7
30 dffun6 5608 . . . . . . . 8
3130simprbi 464 . . . . . . 7
3229, 31syl 16 . . . . . 6
33 dffo4 6047 . . . . . . 7
3433simprbi 464 . . . . . 6
3532, 34jca 532 . . . . 5
3635eximi 1656 . . . 4
3728, 36jaoi 379 . . 3
3812, 37syl 16 . 2
39 inss1 3717 . . . . . . . . . . 11
4039ssbri 4494 . . . . . . . . . 10
4140moimi 2340 . . . . . . . . 9
4241alimi 1633 . . . . . . . 8
43 relxp 5115 . . . . . . . . . 10
44 relin2 5126 . . . . . . . . . 10
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9
46 dffun6 5608 . . . . . . . . 9
4745, 46mpbiran 918 . . . . . . . 8
4842, 47sylibr 212 . . . . . . 7
49 funfn 5622 . . . . . . 7
5048, 49sylib 196 . . . . . 6
51 rninxp 5451 . . . . . . 7
5251biimpri 206 . . . . . 6
5350, 52anim12i 566 . . . . 5
54 df-fo 5599 . . . . 5
5553, 54sylibr 212 . . . 4
56 vex 3112 . . . . . . 7
5756inex1 4593 . . . . . 6
5857dmex 6733 . . . . 5
5958fodom 8923 . . . 4
60 brdom3.2 . . . . . 6
61 inss2 3718 . . . . . . . 8
62 dmss 5207 . . . . . . . 8
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . 7
64 dmxpss 5443 . . . . . . 7
6563, 64sstri 3512 . . . . . 6
66 ssdomg 7581 . . . . . 6
6760, 65, 66mp2 9 . . . . 5
68 domtr 7588 . . . . 5
6967, 68mpan2 671 . . . 4
7055, 59, 693syl 20 . . 3
7170exlimiv 1722 . 2
7238, 71impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E*wmo 2283  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591   cdom 7534   csdm 7535
This theorem is referenced by:  brdom5  8928  brdom4  8929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-acn 8344  df-ac 8518
  Copyright terms: Public domain W3C validator