MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom3 Unicode version

Theorem brdom3 8520
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2
Assertion
Ref Expression
brdom3
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 7227 . . . . . . . . 9
21brrelexi 4883 . . . . . . . 8
3 0sdomg 7348 . . . . . . . 8
42, 3syl 16 . . . . . . 7
5 df-ne 2646 . . . . . . 7
64, 5syl6bb 254 . . . . . 6
76biimpar 473 . . . . 5
8 fodomr 7370 . . . . . 6
98ancoms 441 . . . . 5
107, 9syldan 458 . . . 4
11 pm5.6 880 . . . 4
1210, 11mpbi 201 . . 3
13 noel 3664 . . . . . . . . 9
14 df-br 4303 . . . . . . . . 9
1513, 14mtbir 292 . . . . . . . 8
1615nex 1571 . . . . . . 7
17 exmo 2325 . . . . . . 7
1816, 17mtp-or 1555 . . . . . 6
1918ax-gen 1562 . . . . 5
20 rzal 3802 . . . . 5
21 0ex 4432 . . . . . 6
22 breq 4304 . . . . . . . . 9
2322mobidv 2357 . . . . . . . 8
2423albidv 1645 . . . . . . 7
25 breq 4304 . . . . . . . . 9
2625rexbidv 2772 . . . . . . . 8
2726ralbidv 2771 . . . . . . 7
2824, 27anbi12d 693 . . . . . 6
2921, 28spcev 3093 . . . . 5
3019, 20, 29sylancr 646 . . . 4
31 fofun 5615 . . . . . . 7
32 dffun6 5432 . . . . . . . 8
3332simprbi 452 . . . . . . 7
3431, 33syl 16 . . . . . 6
35 dffo4 5847 . . . . . . 7
3635simprbi 452 . . . . . 6
3734, 36jca 520 . . . . 5
3837eximi 1594 . . . 4
3930, 38jaoi 370 . . 3
4012, 39syl 16 . 2
41 inss1 3593 . . . . . . . . . . 11
4241ssbri 4344 . . . . . . . . . 10
4342moimi 2365 . . . . . . . . 9
4443alimi 1575 . . . . . . . 8
45 relxp 4951 . . . . . . . . . 10
46 relin2 4962 . . . . . . . . . 10
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . 9
48 dffun6 5432 . . . . . . . . 9
4947, 48mpbiran 886 . . . . . . . 8
5044, 49sylibr 205 . . . . . . 7
51 funfn 5446 . . . . . . 7
5250, 51sylib 190 . . . . . 6
53 rninxp 5277 . . . . . . 7
5453biimpri 199 . . . . . 6
5552, 54anim12i 551 . . . . 5
56 df-fo 5423 . . . . 5
5755, 56sylibr 205 . . . 4
58 vex 3009 . . . . . . 7
5958inex1 4443 . . . . . 6
6059dmex 6476 . . . . 5
6160fodom 8516 . . . 4
62 brdom3.2 . . . . . 6
63 inss2 3594 . . . . . . . 8
64 dmss 5043 . . . . . . . 8
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . 7
66 dmxpss 5269 . . . . . . 7
6765, 66sstri 3390 . . . . . 6
68 ssdomg 7265 . . . . . 6
6962, 67, 68mp2 9 . . . . 5
70 domtr 7272 . . . . 5
7169, 70mpan2 654 . . . 4
7257, 61, 713syl 19 . . 3
7372exlimiv 1654 . 2
7440, 73impbii 182 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 359  /\wa 360  A.wal 1556  E.wex 1557  =wceq 1662  e.wcel 1724  E*wmo 2306  =/=wne 2644  A.wral 2751  E.wrex 2752   cvv 3006  i^icin 3352  C_wss 3353   c0 3660  <.cop 3897   class class class wbr 4302  X.cxp 4842  domcdm 4844  rancrn 4845  Relwrel 4849  Funwfun 5411  Fnwfn 5412  -->wf 5413  -onto->wfo 5415   cdom 7219   csdm 7220
This theorem is referenced by:  brdom5  8521  brdom4  8522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1562  ax-4 1573  ax-5 1636  ax-6 1677  ax-7 1697  ax-8 1726  ax-9 1728  ax-10 1743  ax-11 1748  ax-12 1760  ax-13 1947  ax-ext 2462  ax-rep 4413  ax-sep 4423  ax-nul 4431  ax-pow 4477  ax-pr 4538  ax-un 6338  ax-ac2 8457
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1337  df-ex 1558  df-nf 1561  df-sb 1669  df-eu 2309  df-mo 2310  df-clab 2468  df-cleq 2474  df-clel 2477  df-nfc 2606  df-ne 2646  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3008  df-sbc 3213  df-csb 3314  df-dif 3356  df-un 3358  df-in 3360  df-ss 3367  df-pss 3369  df-nul 3661  df-if 3813  df-pw 3880  df-sn 3900  df-pr 3901  df-tp 3902  df-op 3903  df-uni 4102  df-int 4139  df-iun 4183  df-br 4303  df-opab 4361  df-mpt 4362  df-tr 4396  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-suc 4728  df-xp 4850  df-rel 4851  df-cnv 4852  df-co 4853  df-dm 4854  df-rn 4855  df-res 4856  df-ima 4857  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6026  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6538  df-2nd 6539  df-recs 6745  df-er 7017  df-map 7132  df-en 7222  df-dom 7223  df-sdom 7224  df-card 7940  df-acn 7943  df-ac 8111
  Copyright terms: Public domain W3C validator