MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom3 Unicode version

Theorem brdom3 8457
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2
Assertion
Ref Expression
brdom3
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 7164 . . . . . . . . 9
21brrelexi 4958 . . . . . . . 8
3 0sdomg 7285 . . . . . . . 8
42, 3syl 16 . . . . . . 7
5 df-ne 2608 . . . . . . 7
64, 5syl6bb 254 . . . . . 6
76biimpar 473 . . . . 5
8 fodomr 7307 . . . . . 6
98ancoms 441 . . . . 5
107, 9syldan 458 . . . 4
11 pm5.6 880 . . . 4
1210, 11mpbi 201 . . 3
13 noel 3620 . . . . . . . . 9
14 df-br 4244 . . . . . . . . 9
1513, 14mtbir 292 . . . . . . . 8
1615nex 1565 . . . . . . 7
17 exmo 2333 . . . . . . 7
1816, 17mtp-or 1548 . . . . . 6
1918ax-gen 1556 . . . . 5
20 rzal 3755 . . . . 5
21 0ex 4373 . . . . . 6
22 breq 4245 . . . . . . . . 9
2322mobidv 2323 . . . . . . . 8
2423albidv 1637 . . . . . . 7
25 breq 4245 . . . . . . . . 9
2625rexbidv 2733 . . . . . . . 8
2726ralbidv 2732 . . . . . . 7
2824, 27anbi12d 693 . . . . . 6
2921, 28spcev 3052 . . . . 5
3019, 20, 29sylancr 646 . . . 4
31 fofun 5701 . . . . . . 7
32 dffun6 5516 . . . . . . . 8
3332simprbi 452 . . . . . . 7
3431, 33syl 16 . . . . . 6
35 dffo4 5933 . . . . . . 7
3635simprbi 452 . . . . . 6
3734, 36jca 520 . . . . 5
3837eximi 1586 . . . 4
3930, 38jaoi 370 . . 3
4012, 39syl 16 . 2
41 inss1 3549 . . . . . . . . . . 11
4241ssbri 4285 . . . . . . . . . 10
4342moimi 2335 . . . . . . . . 9
4443alimi 1569 . . . . . . . 8
45 relxp 5025 . . . . . . . . . 10
46 relin2 5035 . . . . . . . . . 10
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . 9
48 dffun6 5516 . . . . . . . . 9
4947, 48mpbiran 886 . . . . . . . 8
5044, 49sylibr 205 . . . . . . 7
51 funfn 5529 . . . . . . 7
5250, 51sylib 190 . . . . . 6
53 rninxp 5354 . . . . . . 7
5453biimpri 199 . . . . . 6
5552, 54anim12i 551 . . . . 5
56 df-fo 5507 . . . . 5
5755, 56sylibr 205 . . . 4
58 vex 2968 . . . . . . 7
5958inex1 4383 . . . . . 6
6059dmex 5175 . . . . 5
6160fodom 8453 . . . 4
62 brdom3.2 . . . . . 6
63 inss2 3550 . . . . . . . 8
64 dmss 5113 . . . . . . . 8
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . 7
66 dmxpss 5344 . . . . . . 7
6765, 66sstri 3346 . . . . . 6
68 ssdomg 7202 . . . . . 6
6962, 67, 68mp2 9 . . . . 5
70 domtr 7209 . . . . 5
7169, 70mpan2 654 . . . 4
7257, 61, 713syl 19 . . 3
7372exlimiv 1646 . 2
7440, 73impbii 182 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 359  /\wa 360  A.wal 1550  E.wex 1551  =wceq 1654  e.wcel 1728  E*wmo 2289  =/=wne 2606  A.wral 2712  E.wrex 2713   cvv 2965  i^icin 3308  C_wss 3309   c0 3616  <.cop 3844   class class class wbr 4243  X.cxp 4917  domcdm 4919  rancrn 4920  Relwrel 4924  Funwfun 5495  Fnwfn 5496  -->wf 5497  -onto->wfo 5499   cdom 7156   csdm 7157
This theorem is referenced by:  brdom5  8458  brdom4  8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-ac2 8394
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-se 4583  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-suc 4628  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-isom 5510  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-er 6954  df-map 7069  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-card 7877  df-acn 7880  df-ac 8048
  Copyright terms: Public domain W3C validator