MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom4 Unicode version

Theorem brdom4 8929
Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 28-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2
Assertion
Ref Expression
brdom4
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem brdom4
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4
21brdom3 8927 . . 3
3 mormo 3072 . . . . . . 7
43alimi 1633 . . . . . 6
5 alral 2822 . . . . . 6
64, 5syl 16 . . . . 5
76anim1i 568 . . . 4
87eximi 1656 . . 3
92, 8sylbi 195 . 2
10 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . 15
11 dmss 5207 . . . . . . . . . . . . . . 15
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
13 dmxpss 5443 . . . . . . . . . . . . . 14
1412, 13sstri 3512 . . . . . . . . . . . . 13
1514sseli 3499 . . . . . . . . . . . 12
16 rnss 5236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1710, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18 rnxpss 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1917, 18sstri 3512 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221ssbri 4494 . . . . . . . . . . . . . . 15
2320, 22anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14
2423moimi 2340 . . . . . . . . . . . . 13
25 df-rmo 2815 . . . . . . . . . . . . 13
26 df-rmo 2815 . . . . . . . . . . . . 13
2724, 25, 263imtr4i 266 . . . . . . . . . . . 12
2815, 27imim12i 57 . . . . . . . . . . 11
2928ralimi2 2847 . . . . . . . . . 10
30 relxp 5115 . . . . . . . . . . 11
31 relin2 5126 . . . . . . . . . . 11
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
3329, 32jctil 537 . . . . . . . . 9
34 dffun9 5621 . . . . . . . . 9
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . 8
36 funfn 5622 . . . . . . . 8
3735, 36sylib 196 . . . . . . 7
38 rninxp 5451 . . . . . . . 8
3938biimpri 206 . . . . . . 7
4037, 39anim12i 566 . . . . . 6
41 df-fo 5599 . . . . . 6
4240, 41sylibr 212 . . . . 5
43 vex 3112 . . . . . . . 8
4443inex1 4593 . . . . . . 7
4544dmex 6733 . . . . . 6
4645fodom 8923 . . . . 5
4742, 46syl 16 . . . 4
48 ssdomg 7581 . . . . 5
491, 14, 48mp2 9 . . . 4
50 domtr 7588 . . . 4
5147, 49, 50sylancl 662 . . 3
5251exlimiv 1722 . 2
539, 52impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E*wmo 2283  A.wral 2807  E.wrex 2808  E*wrmo 2810   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591   cdom 7534
This theorem is referenced by:  brdom7disj  8930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-acn 8344  df-ac 8518
  Copyright terms: Public domain W3C validator