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Theorem brdom6disj 8931
Description: An equivalence to a dominance relation for disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
brdom7disj.1
brdom7disj.2
brdom7disj.3
Assertion
Ref Expression
brdom6disj
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem brdom6disj
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom7disj.2 . . 3
21brdom5 8928 . 2
3 zfpair2 4692 . . . . . . . . . 10
4 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . 13
54anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
6 df-br 4453 . . . . . . . . . . . . 13
76anbi2i 694 . . . . . . . . . . . 12
85, 7syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11
982rexbidv 2975 . . . . . . . . . 10
103, 9elab 3246 . . . . . . . . 9
11 incom 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12 brdom7disj.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1311, 12eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 disjne 3872 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1513, 14mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2016, 17, 18, 19opthpr 4208 . . . . . . . . . . . . . . 15
2115, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
22 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14
2421, 23syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13
2524impd 431 . . . . . . . . . . . 12
2625ex 434 . . . . . . . . . . 11
2726adantrd 468 . . . . . . . . . 10
2827rexlimdvv 2955 . . . . . . . . 9
2910, 28syl5bi 217 . . . . . . . 8
3029alrimiv 1719 . . . . . . 7
31 moim 2339 . . . . . . 7
3230, 31syl 16 . . . . . 6
3332ralimia 2848 . . . . 5
34 zfpair2 4692 . . . . . . . . . . . 12
35 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . 14
3635anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13
37362rexbidv 2975 . . . . . . . . . . . 12
3834, 37elab 3246 . . . . . . . . . . 11
39 disjne 3872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4013, 39mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4140ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4218, 19, 17, 16opthpr 4208 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
44 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15
4643, 44, 453bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . 14
476bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
4946, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13
5049rexbidva 2965 . . . . . . . . . . . 12
5150rexbidv 2968 . . . . . . . . . . 11
5238, 51syl5bb 257 . . . . . . . . . 10
5352adantr 465 . . . . . . . . 9
54 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
55 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
5654, 55ceqsrex2v 3235 . . . . . . . . 9
5753, 56bitrd 253 . . . . . . . 8
5857rexbidva 2965 . . . . . . 7
5958ralbiia 2887 . . . . . 6
6059biimpri 206 . . . . 5
61 brdom7disj.1 . . . . . . 7
62 snex 4693 . . . . . . . 8
63 simpl 457 . . . . . . . . . 10
6463ss2abi 3571 . . . . . . . . 9
65 df-sn 4030 . . . . . . . . 9
6664, 65sseqtr4i 3536 . . . . . . . 8
6762, 66ssexi 4597 . . . . . . 7
6861, 1, 67ab2rexex2 6792 . . . . . 6
69 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
7069mobidv 2305 . . . . . . . 8
7170ralbidv 2896 . . . . . . 7
72 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
7372rexbidv 2968 . . . . . . . 8
7473ralbidv 2896 . . . . . . 7
7571, 74anbi12d 710 . . . . . 6
7668, 75spcev 3201 . . . . 5
7733, 60, 76syl2an 477 . . . 4
7877exlimiv 1722 . . 3
79 preq1 4109 . . . . . . . . 9
8079eleq1d 2526 . . . . . . . 8
81 preq2 4110 . . . . . . . . 9
8281eleq1d 2526 . . . . . . . 8
83 eqid 2457 . . . . . . . 8
8416, 17, 80, 82, 83brab 4775 . . . . . . 7
8584mobii 2307 . . . . . 6
8685ralbii 2888 . . . . 5
87 preq1 4109 . . . . . . . . 9
8887eleq1d 2526 . . . . . . . 8
89 preq2 4110 . . . . . . . . 9
9089eleq1d 2526 . . . . . . . 8
9117, 16, 88, 90, 83brab 4775 . . . . . . 7
9291rexbii 2959 . . . . . 6
9392ralbii 2888 . . . . 5
94 df-opab 4511 . . . . . . 7
95 vex 3112 . . . . . . . . 9
9695uniex 6596 . . . . . . . 8
9719prid1 4138 . . . . . . . . . . 11
98 elunii 4254 . . . . . . . . . . 11
9997, 98mpan 670 . . . . . . . . . 10
10099adantl 466 . . . . . . . . 9
101100exlimiv 1722 . . . . . . . 8
10218prid2 4139 . . . . . . . . . . 11
103 elunii 4254 . . . . . . . . . . 11
104102, 103mpan 670 . . . . . . . . . 10
105104adantl 466 . . . . . . . . 9
106 df-sn 4030 . . . . . . . . . . 11
107 snex 4693 . . . . . . . . . . 11
108106, 107eqeltrri 2542 . . . . . . . . . 10
109 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
110109ss2abi 3571 . . . . . . . . . 10
111108, 110ssexi 4597 . . . . . . . . 9
11296, 105, 111abexex 6783 . . . . . . . 8
11396, 101, 112abexex 6783 . . . . . . 7
11494, 113eqeltri 2541 . . . . . 6
115 breq 4454 . . . . . . . . 9
116115mobidv 2305 . . . . . . . 8
117116ralbidv 2896 . . . . . . 7
118 breq 4454 . . . . . . . . 9
119118rexbidv 2968 . . . . . . . 8
120119ralbidv 2896 . . . . . . 7
121117, 120anbi12d 710 . . . . . 6
122114, 121spcev 3201 . . . . 5
12386, 93, 122syl2anbr 480 . . . 4
124123exlimiv 1722 . . 3
12578, 124impbii 188 . 2
1262, 125bitri 249 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E*wmo 2283  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509   cdom 7534
This theorem is referenced by:  grothprim  9233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-acn 8344  df-ac 8518
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