Theorem brdom6disj 8931

Description: An equivalence to a dominance relation for disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
brdom7disj.1
brdom7disj.2
brdom7disj.3

Assertion

Ref	Expression
brdom6disj

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem brdom6disj

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom7disj.2	. . 3
2	1	brdom5 8928	. 2
3		zfpair2 4692	. . . . . . . . . 10
4		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . 13
5	4	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . 12
6		df-br 4453	. . . . . . . . . . . . 13
7	6	anbi2i 694	. . . . . . . . . . . 12
8	5, 7	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . 11
9	8	2rexbidv 2975	. . . . . . . . . 10
10	3, 9	elab 3246	. . . . . . . . 9
11		incom 3690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
12		brdom7disj.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
13	11, 12	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14		disjne 3872	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	13, 14	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . 15
16		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	16, 17, 18, 19	opthpr 4208	. . . . . . . . . . . . . . 15
21	15, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
22		breq12 4457	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . 14
24	21, 23	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	impd 431	. . . . . . . . . . . 12
26	25	ex 434	. . . . . . . . . . 11
27	26	adantrd 468	. . . . . . . . . 10
28	27	rexlimdvv 2955	. . . . . . . . 9
29	10, 28	syl5bi 217	. . . . . . . 8
30	29	alrimiv 1719	. . . . . . 7
31		moim 2339	. . . . . . 7
32	30, 31	syl 16	. . . . . 6
33	32	ralimia 2848	. . . . 5
34		zfpair2 4692	. . . . . . . . . . . 12
35		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	2rexbidv 2975	. . . . . . . . . . . 12
38	34, 37	elab 3246	. . . . . . . . . . 11
39		disjne 3872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40	13, 39	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
41	40	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42	18, 19, 17, 16	opthpr 4208	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eqcom 2466	. . . . . . . . . . . . . . 15
45		ancom 450	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	43, 44, 45	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . . . . 14
47	6	bicomi 202	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
49	46, 48	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13
50	49	rexbidva 2965	. . . . . . . . . . . 12
51	50	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . 11
52	38, 51	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10
53	52	adantr 465	. . . . . . . . 9
54		breq2 4456	. . . . . . . . . 10
55		breq1 4455	. . . . . . . . . 10
56	54, 55	ceqsrex2v 3235	. . . . . . . . 9
57	53, 56	bitrd 253	. . . . . . . 8
58	57	rexbidva 2965	. . . . . . 7
59	58	ralbiia 2887	. . . . . 6
60	59	biimpri 206	. . . . 5
61		brdom7disj.1	. . . . . . 7
62		snex 4693	. . . . . . . 8
63		simpl 457	. . . . . . . . . 10
64	63	ss2abi 3571	. . . . . . . . 9
65		df-sn 4030	. . . . . . . . 9
66	64, 65	sseqtr4i 3536	. . . . . . . 8
67	62, 66	ssexi 4597	. . . . . . 7
68	61, 1, 67	ab2rexex2 6792	. . . . . 6
69		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
70	69	mobidv 2305	. . . . . . . 8
71	70	ralbidv 2896	. . . . . . 7
72		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
73	72	rexbidv 2968	. . . . . . . 8
74	73	ralbidv 2896	. . . . . . 7
75	71, 74	anbi12d 710	. . . . . 6
76	68, 75	spcev 3201	. . . . 5
77	33, 60, 76	syl2an 477	. . . 4
78	77	exlimiv 1722	. . 3
79		preq1 4109	. . . . . . . . 9
80	79	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
81		preq2 4110	. . . . . . . . 9
82	81	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
83		eqid 2457	. . . . . . . 8
84	16, 17, 80, 82, 83	brab 4775	. . . . . . 7
85	84	mobii 2307	. . . . . 6
86	85	ralbii 2888	. . . . 5
87		preq1 4109	. . . . . . . . 9
88	87	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
89		preq2 4110	. . . . . . . . 9
90	89	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
91	17, 16, 88, 90, 83	brab 4775	. . . . . . 7
92	91	rexbii 2959	. . . . . 6
93	92	ralbii 2888	. . . . 5
94		df-opab 4511	. . . . . . 7
95		vex 3112	. . . . . . . . 9
96	95	uniex 6596	. . . . . . . 8
97	19	prid1 4138	. . . . . . . . . . 11
98		elunii 4254	. . . . . . . . . . 11
99	97, 98	mpan 670	. . . . . . . . . 10
100	99	adantl 466	. . . . . . . . 9
101	100	exlimiv 1722	. . . . . . . 8
102	18	prid2 4139	. . . . . . . . . . 11
103		elunii 4254	. . . . . . . . . . 11
104	102, 103	mpan 670	. . . . . . . . . 10
105	104	adantl 466	. . . . . . . . 9
106		df-sn 4030	. . . . . . . . . . 11
107		snex 4693	. . . . . . . . . . 11
108	106, 107	eqeltrri 2542	. . . . . . . . . 10
109		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
110	109	ss2abi 3571	. . . . . . . . . 10
111	108, 110	ssexi 4597	. . . . . . . . 9
112	96, 105, 111	abexex 6783	. . . . . . . 8
113	96, 101, 112	abexex 6783	. . . . . . 7
114	94, 113	eqeltri 2541	. . . . . 6
115		breq 4454	. . . . . . . . 9
116	115	mobidv 2305	. . . . . . . 8
117	116	ralbidv 2896	. . . . . . 7
118		breq 4454	. . . . . . . . 9
119	118	rexbidv 2968	. . . . . . . 8
120	119	ralbidv 2896	. . . . . . 7
121	117, 120	anbi12d 710	. . . . . 6
122	114, 121	spcev 3201	. . . . 5
123	86, 93, 122	syl2anbr 480	. . . 4
124	123	exlimiv 1722	. . 3
125	78, 124	impbii 188	. 2
126	2, 125	bitri 249	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E*wmo 2283  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  i^icin 3474  c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  cdom 7534

This theorem is referenced by:  grothprim  9233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-acn 8344  df-ac 8518