Theorem brdom7disj 8930

Description: An equivalence to a dominance relation for disjoint sets. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
brdom7disj.1
brdom7disj.2
brdom7disj.3

Assertion

Ref	Expression
brdom7disj

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem brdom7disj

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom7disj.2	. . 3
2	1	brdom4 8929	. 2
3		incom 3690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
4		brdom7disj.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
5	3, 4	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . . . . 16
6		disjne 3872	. . . . . . . . . . . . . . . 16
7	5, 6	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . 15
8		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
9		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
10		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
12	8, 9, 10, 11	opthpr 4208	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	7, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
14		equcom 1794	. . . . . . . . . . . . . . 15
15		equcom 1794	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	14, 15	anbi12i 697	. . . . . . . . . . . . . 14
17	13, 16	syl6rbb 262	. . . . . . . . . . . . 13
18		df-br 4453	. . . . . . . . . . . . . 14
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
20	17, 19	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12
21	20	rexbidva 2965	. . . . . . . . . . 11
22	21	rexbidv 2968	. . . . . . . . . 10
23		rexcom 3019	. . . . . . . . . . 11
24		zfpair2 4692	. . . . . . . . . . . 12
25		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	2rexbidv 2975	. . . . . . . . . . . 12
28	24, 27	elab 3246	. . . . . . . . . . 11
29	23, 28	bitr4i 252	. . . . . . . . . 10
30	22, 29	syl6rbb 262	. . . . . . . . 9
31	30	adantr 465	. . . . . . . 8
32		breq1 4455	. . . . . . . . 9
33		breq2 4456	. . . . . . . . 9
34	32, 33	ceqsrex2v 3235	. . . . . . . 8
35	31, 34	bitrd 253	. . . . . . 7
36	35	rmobidva 3046	. . . . . 6
37	36	ralbiia 2887	. . . . 5
38		zfpair2 4692	. . . . . . . . . . 11
39		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . 12
41	40	2rexbidv 2975	. . . . . . . . . . 11
42	38, 41	elab 3246	. . . . . . . . . 10
43		disjne 3872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	5, 43	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	44	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	10, 11, 9, 8	opthpr 4208	. . . . . . . . . . . . . . 15
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
48		eqcom 2466	. . . . . . . . . . . . . 14
49		ancom 450	. . . . . . . . . . . . . 14
50	47, 48, 49	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . . . 13
51	18	bicomi 202	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
53	50, 52	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12
54	53	rexbidva 2965	. . . . . . . . . . 11
55	54	rexbidv 2968	. . . . . . . . . 10
56	42, 55	syl5bb 257	. . . . . . . . 9
57	56	adantr 465	. . . . . . . 8
58		breq2 4456	. . . . . . . . 9
59		breq1 4455	. . . . . . . . 9
60	58, 59	ceqsrex2v 3235	. . . . . . . 8
61	57, 60	bitrd 253	. . . . . . 7
62	61	rexbidva 2965	. . . . . 6
63	62	ralbiia 2887	. . . . 5
64		brdom7disj.1	. . . . . . 7
65		snex 4693	. . . . . . . 8
66		simpl 457	. . . . . . . . . 10
67	66	ss2abi 3571	. . . . . . . . 9
68		df-sn 4030	. . . . . . . . 9
69	67, 68	sseqtr4i 3536	. . . . . . . 8
70	65, 69	ssexi 4597	. . . . . . 7
71	64, 1, 70	ab2rexex2 6792	. . . . . 6
72		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
73	72	rmobidv 3047	. . . . . . . 8
74	73	ralbidv 2896	. . . . . . 7
75		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
76	75	rexbidv 2968	. . . . . . . 8
77	76	ralbidv 2896	. . . . . . 7
78	74, 77	anbi12d 710	. . . . . 6
79	71, 78	spcev 3201	. . . . 5
80	37, 63, 79	syl2anbr 480	. . . 4
81	80	exlimiv 1722	. . 3
82		preq1 4109	. . . . . . . . 9
83	82	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
84		preq2 4110	. . . . . . . . 9
85	84	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
86		eqid 2457	. . . . . . . 8
87	8, 9, 83, 85, 86	brab 4775	. . . . . . 7
88	87	rmobii 3049	. . . . . 6
89	88	ralbii 2888	. . . . 5
90		preq1 4109	. . . . . . . . 9
91	90	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
92		preq2 4110	. . . . . . . . 9
93	92	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
94	9, 8, 91, 93, 86	brab 4775	. . . . . . 7
95	94	rexbii 2959	. . . . . 6
96	95	ralbii 2888	. . . . 5
97		df-opab 4511	. . . . . . 7
98		vex 3112	. . . . . . . . 9
99	98	uniex 6596	. . . . . . . 8
100	11	prid1 4138	. . . . . . . . . . 11
101		elunii 4254	. . . . . . . . . . 11
102	100, 101	mpan 670	. . . . . . . . . 10
103	102	adantl 466	. . . . . . . . 9
104	103	exlimiv 1722	. . . . . . . 8
105	10	prid2 4139	. . . . . . . . . . 11
106		elunii 4254	. . . . . . . . . . 11
107	105, 106	mpan 670	. . . . . . . . . 10
108	107	adantl 466	. . . . . . . . 9
109		df-sn 4030	. . . . . . . . . . 11
110		snex 4693	. . . . . . . . . . 11
111	109, 110	eqeltrri 2542	. . . . . . . . . 10
112		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
113	112	ss2abi 3571	. . . . . . . . . 10
114	111, 113	ssexi 4597	. . . . . . . . 9
115	99, 108, 114	abexex 6783	. . . . . . . 8
116	99, 104, 115	abexex 6783	. . . . . . 7
117	97, 116	eqeltri 2541	. . . . . 6
118		breq 4454	. . . . . . . . 9
119	118	rmobidv 3047	. . . . . . . 8
120	119	ralbidv 2896	. . . . . . 7
121		breq 4454	. . . . . . . . 9
122	121	rexbidv 2968	. . . . . . . 8
123	122	ralbidv 2896	. . . . . . 7
124	120, 123	anbi12d 710	. . . . . 6
125	117, 124	spcev 3201	. . . . 5
126	89, 96, 125	syl2anbr 480	. . . 4
127	126	exlimiv 1722	. . 3
128	81, 127	impbii 188	. 2
129	2, 128	bitri 249	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  E*wrmo 2810  cvv 3109  i^icin 3474  c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  cdom 7534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-acn 8344  df-ac 8518