Theorem bren 7545

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem bren

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 7544	. 2
2		f1ofn 5822	. . . . 5
3		fndm 5685	. . . . . 6
4		vex 3112	. . . . . . 7
5	4	dmex 6733	. . . . . 6
6	3, 5	syl6eqelr 2554	. . . . 5
7	2, 6	syl 16	. . . 4
8		f1ofo 5828	. . . . . 6
9		forn 5803	. . . . . 6
10	8, 9	syl 16	. . . . 5
11	4	rnex 6734	. . . . 5
12	10, 11	syl6eqelr 2554	. . . 4
13	7, 12	jca 532	. . 3
14	13	exlimiv 1722	. 2
15		f1oeq2 5813	. . . 4
16	15	exbidv 1714	. . 3
17		f1oeq3 5814	. . . 4
18	17	exbidv 1714	. . 3
19		df-en 7537	. . 3
20	16, 18, 19	brabg 4771	. 2
21	1, 14, 20	pm5.21nii 353	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109   class class class wbr 4452  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  cen 7533

This theorem is referenced by:  domen  7549  f1oen3g  7551  ener  7582  en0  7598  ensn1  7599  en1  7602  unen  7618  enfixsn  7646  canth2  7690  mapen  7701  ssenen  7711  phplem4  7719  php3  7723  isinf  7753  ssfi  7760  domunfican  7813  fiint  7817  mapfien2  7888  unxpwdom2  8035  isinffi  8394  infxpenc2  8420  infxpenc2OLD  8424  fseqen  8429  dfac8b  8433  infpwfien  8464  dfac12r  8547  infmap2  8619  cff1  8659  infpssr  8709  fin4en1  8710  enfin2i  8722  enfin1ai  8785  axcc3  8839  axcclem  8858  numth  8873  ttukey2g  8917  canthnum  9048  canthwe  9050  canthp1  9053  pwfseq  9063  tskuni  9182  gruen  9211  hasheqf1o  12422  hashfacen  12503  fz1f1o  13532  ruc  13976  cnso  13980  eulerth  14313  ablfaclem3  17138  lbslcic  18876  uvcendim  18882  indishmph  20299  ufldom  20463  ovolctb  21901  ovoliunlem3  21915  iunmbl2  21967  dyadmbl  22009  vitali  22022  nbusgrafi  24448  cusgrafilem3  24481  wlknwwlknen  24715  volmeas  28203  eulerpart  28321  derangenlem  28615  mblfinlem1  30051  eldioph2lem1  30693  mapfien2OLD  31042  isnumbasgrplem1  31050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-en 7537