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Theorem brfi1uzind 12532
 Description: Properties of a binary relation with a finite first component with at least L elements, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (as binary relation between the set of vertices and an edge function) with a finite number of vertices, usually with (see brfi1ind 12533) or . (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
brfi1uzind.r
brfi1uzind.f
brfi1uzind.l
brfi1uzind.1
brfi1uzind.2
brfi1uzind.3
brfi1uzind.4
brfi1uzind.base
brfi1uzind.step
Assertion
Ref Expression
brfi1uzind
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,,

Proof of Theorem brfi1uzind
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 12428 . . . 4
2 df-clel 2452 . . . . 5
3 brfi1uzind.l . . . . . . . . . . . . . . 15
4 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . 15
53, 4mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14
6 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . 15
76ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
8 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
13 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1413anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1514imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16152albidv 1715 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1817anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20192albidv 1715 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2221anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2322imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24232albidv 1715 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2625anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28272albidv 1715 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30 brfi1uzind.base . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3129, 30sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231gen2 1619 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3635eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3834, 37anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39 brfi1uzind.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4038, 39imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4140cbval2v 2030 . . . . . . . . . . . . . . . 16
42 nn0ge0 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
43 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
44 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
453, 44mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
46 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
47 letr 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4843, 45, 46, 47syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
49 0nn0 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
50 pm3.22 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
51 0z 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
52 eluz1 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5351, 52mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5450, 53mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
55 eluznn0 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5649, 54, 55sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5756ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5848, 57syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5958ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6059com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6160pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6261imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6362com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
643, 42, 63mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
65643adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
66 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
67 nn0p1gt0 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7068, 69breqtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7166, 70sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7271adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
73 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
74 hashgt0elex 12466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
75 brfi1uzind.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7673a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
78 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
79 brfi1indlem 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8066, 79syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8176, 77, 78, 80syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8281imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
83 peano2nn0 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8483ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
86 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
87 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
88 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8988adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9086, 87, 893jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9185, 90jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
92 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9373, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
94 brfi1uzind.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
95 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
96 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
97 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9897eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9996, 98syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10195, 100anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
102 brfi1uzind.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
103101, 102imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
104103spc2gv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10593, 94, 104mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
106105expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
107106ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
108663anbi2i 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
109108anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
110 brfi1uzind.step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
111109, 110sylanb 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11291, 107, 111syl6an 545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
113112exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
114113com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
115114com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
11682, 115mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
117116ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
118117com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
119118ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
120119com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
121120imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12275, 121mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
123122ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
124123com4l 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
125124exlimiv 1722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
12674, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
127126ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
128127com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12973, 128ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
130129imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
131130impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
13272, 131mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13365, 132sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134133impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135134alrimivv 1720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136135ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13741, 136syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15
13816, 20, 24, 28, 33, 137uzind 10979 . . . . . . . . . . . . . 14
1395, 7, 12, 138syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
140 brfi1uzind.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141140brrelexi 5045 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142140brrelex2i 5046 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143141, 142jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15
144 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
146145eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
147146adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
148144, 147anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149 brfi1uzind.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
150148, 149imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151150spc2gv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152151com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153152expd 436 . . . . . . . . . . . . . . 15
154143, 153mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . 14
155154imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
156139, 155syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12
157156exp31 604 . . . . . . . . . . 11
158157com14 88 . . . . . . . . . 10
159158expcom 435 . . . . . . . . 9
160159com24 87 . . . . . . . 8
161160pm2.43i 47 . . . . . . 7
162161imp 429 . . . . . 6
163162exlimiv 1722 . . . . 5
1642, 163sylbi 195 . . . 4
1651, 164syl 16 . . 3
166165com12 31 . 2
1671663imp 1190 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  {csn 4029   class class class wbr 4452  Relwrel 5009  cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cr 9512  0cc0 9513  1`c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   chash 12405 This theorem is referenced by:  brfi1ind  12533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406
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