MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bropopvvv Unicode version

Theorem bropopvvv 6880
Description: If a binary relation holds for the result of an operation which is a result of an operation, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
bropopvvv.o
bropopvvv.p
bropopvvv.oo
Assertion
Ref Expression
bropopvvv
Distinct variable groups:   , , , , , ,   , , , , , ,   , ,

Proof of Theorem bropopvvv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4453 . . 3
2 ne0i 3790 . . . 4
3 df-ov 6299 . . . . . 6
4 ndmfv 5895 . . . . . 6
53, 4syl5eq 2510 . . . . 5
65necon1ai 2688 . . . 4
7 simpl 457 . . . . . . . . . 10
8 bropopvvv.p . . . . . . . . . . 11
98opabbidv 4515 . . . . . . . . . 10
107, 7, 9mpt2eq123dv 6359 . . . . . . . . 9
11 bropopvvv.o . . . . . . . . 9
1210, 11ovmpt2ga 6432 . . . . . . . 8
1312dmeqd 5210 . . . . . . 7
1413eleq2d 2527 . . . . . 6
15 dmoprabss 6384 . . . . . . . . 9
1615sseli 3499 . . . . . . . 8
17 opelxp 5034 . . . . . . . . 9
18 bropopvvv.oo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1918breqd 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20 brabv 6342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2120anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2221ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2419, 23sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2625com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2811mpt2ndm0 6516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
29 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
303, 29syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31 0fv 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3230, 31syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 eqneqall 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3428, 32, 333syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3527, 34pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . 15
362, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
371, 36sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
3837pm2.43i 47 . . . . . . . . . . . 12
3938com12 31 . . . . . . . . . . 11
4039anc2ri 558 . . . . . . . . . 10
41 df-3an 975 . . . . . . . . . 10
4240, 41syl6ibr 227 . . . . . . . . 9
4317, 42sylbi 195 . . . . . . . 8
4416, 43syl 16 . . . . . . 7
45 df-mpt2 6301 . . . . . . . 8
4645dmeqi 5209 . . . . . . 7
4744, 46eleq2s 2565 . . . . . 6
4814, 47syl6bi 228 . . . . 5
49 3ianor 990 . . . . . 6
50 df-3or 974 . . . . . . 7
51 ianor 488 . . . . . . . . 9
5228dmeqd 5210 . . . . . . . . . . . 12
5352eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
54 dm0 5221 . . . . . . . . . . . 12
5554eleq2i 2535 . . . . . . . . . . 11
5653, 55syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
57 noel 3788 . . . . . . . . . . 11
5857pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10
5956, 58syl6bi 228 . . . . . . . . 9
6051, 59sylbir 213 . . . . . . . 8
61 anor 489 . . . . . . . . . 10
62 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
6362ancri 552 . . . . . . . . . . . . 13
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
65 mpt2exga 6876 . . . . . . . . . . . 12
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11
6766pm2.24d 143 . . . . . . . . . 10
6861, 67sylbir 213 . . . . . . . . 9
6968imp 429 . . . . . . . 8
7060, 69jaoi3 969 . . . . . . 7
7150, 70sylbi 195 . . . . . 6
7249, 71sylbi 195 . . . . 5
7348, 72pm2.61i 164 . . . 4
742, 6, 733syl 20 . . 3
751, 74sylbi 195 . 2
7675pm2.43i 47 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  X.cxp 5002  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  {coprab 6297  e.cmpt2 6298
This theorem is referenced by:  wlkonprop  24535  trlonprop  24544  pthonprop  24579  spthonprp  24587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801
  Copyright terms: Public domain W3C validator