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Theorem brwdom2 8020
Description: Alternate characterization of the weak dominance predicate which does not require special treatment of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
brwdom2
Distinct variable groups:   , ,   , ,

Proof of Theorem brwdom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . 2
2 0wdom 8017 . . . . . 6
3 breq1 4455 . . . . . 6
42, 3syl5ibrcom 222 . . . . 5
54imp 429 . . . 4
6 0elpw 4621 . . . . . . 7
7 f1o0 5855 . . . . . . . 8
8 f1ofo 5828 . . . . . . . 8
9 0ex 4582 . . . . . . . . 9
10 foeq1 5796 . . . . . . . . 9
119, 10spcev 3201 . . . . . . . 8
127, 8, 11mp2b 10 . . . . . . 7
13 foeq2 5797 . . . . . . . . 9
1413exbidv 1714 . . . . . . . 8
1514rspcev 3210 . . . . . . 7
166, 12, 15mp2an 672 . . . . . 6
17 foeq3 5798 . . . . . . . 8
1817exbidv 1714 . . . . . . 7
1918rexbidv 2968 . . . . . 6
2016, 19mpbiri 233 . . . . 5
2120adantl 466 . . . 4
225, 212thd 240 . . 3
23 brwdomn0 8016 . . . . 5
2423adantl 466 . . . 4
25 foeq1 5796 . . . . . . 7
2625cbvexv 2024 . . . . . 6
27 pwidg 4025 . . . . . . . . 9
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8
29 foeq2 5797 . . . . . . . . . 10
3029exbidv 1714 . . . . . . . . 9
3130rspcev 3210 . . . . . . . 8
3228, 31sylancom 667 . . . . . . 7
3332ex 434 . . . . . 6
3426, 33syl5bi 217 . . . . 5
35 n0 3794 . . . . . . . . . . 11
3635biimpi 194 . . . . . . . . . 10
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
38 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
39 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . . 14
40 snex 4693 . . . . . . . . . . . . . 14
41 xpexg 6602 . . . . . . . . . . . . . 14
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
43 unexg 6601 . . . . . . . . . . . . 13
4438, 42, 43sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
4544adantr 465 . . . . . . . . . . 11
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
47 fofn 5802 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13
50 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
51 fnconstg 5778 . . . . . . . . . . . . . 14
5250, 51mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
53 disjdif 3900 . . . . . . . . . . . . . 14
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
55 fnun 5692 . . . . . . . . . . . . 13
5649, 52, 54, 55syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . 12
57 elpwi 4021 . . . . . . . . . . . . . . . 16
58 undif 3908 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5957, 58sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
6261fneq2d 5677 . . . . . . . . . . . 12
6356, 62mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
64 rnun 5419 . . . . . . . . . . . 12
65 forn 5803 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6867uneq1d 3656 . . . . . . . . . . . . 13
69 fconst6g 5779 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 frn 5742 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
73 ssequn2 3676 . . . . . . . . . . . . . 14
7472, 73sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
7568, 74eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
7664, 75syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11
77 df-fo 5599 . . . . . . . . . . 11
7863, 76, 77sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10
79 foeq1 5796 . . . . . . . . . . 11
8079spcegv 3195 . . . . . . . . . 10
8146, 78, 80sylc 60 . . . . . . . . 9
8237, 81exlimddv 1726 . . . . . . . 8
8382expr 615 . . . . . . 7
8483exlimdv 1724 . . . . . 6
8584rexlimdva 2949 . . . . 5
8634, 85impbid 191 . . . 4
8724, 86bitrd 253 . . 3
8822, 87pm2.61dane 2775 . 2
891, 88syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592   cwdom 8004
This theorem is referenced by:  brwdom3  8029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-wdom 8006
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