MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnz Unicode version

Theorem btwnz 10991
Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
btwnz
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem btwnz
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9905 . . . 4
2 arch 10817 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 nnre 10568 . . . . . . . 8
5 ltnegcon1 10078 . . . . . . . . 9
65ex 434 . . . . . . . 8
74, 6syl5 32 . . . . . . 7
87pm5.32d 639 . . . . . 6
9 nnnegz 10892 . . . . . . 7
10 breq1 4455 . . . . . . . 8
1110rspcev 3210 . . . . . . 7
129, 11sylan 471 . . . . . 6
138, 12syl6bi 228 . . . . 5
1413expd 436 . . . 4
1514rexlimdv 2947 . . 3
163, 15mpd 15 . 2
17 arch 10817 . . 3
18 nnz 10911 . . . . 5
1918anim1i 568 . . . 4
2019reximi2 2924 . . 3
2117, 20syl 16 . 2
2216, 21jca 532 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452   cr 9512   clt 9649  -ucneg 9829   cn 10561   cz 10889
This theorem is referenced by:  lbzbi  11199  rpnnen1lem1  11237  rpnnen1lem2  11238  rpnnen1lem3  11239  rpnnen1lem5  11241  fourierdlem64  31953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator