Theorem canth4 9046

Description: An "effective" form of Cantor's theorem canth 6254. For any function from the powerset of to , there are two definable sets and which witness non-injectivity of . Corollary 1.3 of [KanamoriPincus] p. 416. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
canth4.1
canth4.2
canth4.3

Assertion

Ref	Expression
canth4

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,

Proof of Theorem canth4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . . . . 8
2		eqid 2457	. . . . . . . 8
3	1, 2	pm3.2i 455	. . . . . . 7
4		canth4.1	. . . . . . . 8
5		elex 3118	. . . . . . . . 9
6	5	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8
7		simpl2 1000	. . . . . . . . 9
8		simp3 998	. . . . . . . . . 10
9	8	sselda 3503	. . . . . . . . 9
10	7, 9	ffvelrnd 6032	. . . . . . . 8
11		canth4.2	. . . . . . . 8
12	4, 6, 10, 11	fpwwe 9045	. . . . . . 7
13	3, 12	mpbiri 233	. . . . . 6
14	13	simpld 459	. . . . 5
15	4, 6	fpwwelem 9044	. . . . 5
16	14, 15	mpbid 210	. . . 4
17	16	simpld 459	. . 3
18	17	simpld 459	. 2
19		canth4.3	. . . . 5
20		cnvimass 5362	. . . . 5
21	19, 20	eqsstri 3533	. . . 4
22	17	simprd 463	. . . . . 6
23		dmss 5207	. . . . . 6
24	22, 23	syl 16	. . . . 5
25		dmxpid 5227	. . . . 5
26	24, 25	syl6sseq 3549	. . . 4
27	21, 26	syl5ss 3514	. . 3
28	13	simprd 463	. . 3
29	16	simprd 463	. . . . . . 7
30	29	simpld 459	. . . . . 6
31		weso 4875	. . . . . 6
32	30, 31	syl 16	. . . . 5
33		sonr 4826	. . . . 5
34	32, 28, 33	syl2anc 661	. . . 4
35	19	eleq2i 2535	. . . . 5
36		fvex 5881	. . . . . 6
37	36	eliniseg 5371	. . . . . 6
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . 5
39	35, 38	bitri 249	. . . 4
40	34, 39	sylnibr 305	. . 3
41	27, 28, 40	ssnelpssd 3891	. 2
42	29	simprd 463	. . . 4
43		sneq 4039	. . . . . . . . 9
44	43	imaeq2d 5342	. . . . . . . 8
45	44, 19	syl6eqr 2516	. . . . . . 7
46	45	fveq2d 5875	. . . . . 6
47		id 22	. . . . . 6
48	46, 47	eqeq12d 2479	. . . . 5
49	48	rspcv 3206	. . . 4
50	28, 42, 49	sylc 60	. . 3
51	50	eqcomd 2465	. 2
52	18, 41, 51	3jca 1176	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  Orwor 4804  Wewwe 4842  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  -->wf 5589  `cfv 5593  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  canthnumlem  9047  canthp1lem2  9052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-1st 6800  df-recs 7061  df-en 7537  df-oi 7956  df-card 8341