Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canth4 Unicode version

Theorem canth4 9046
 Description: An "effective" form of Cantor's theorem canth 6254. For any function from the powerset of to , there are two definable sets and which witness non-injectivity of . Corollary 1.3 of [KanamoriPincus] p. 416. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canth4.1
canth4.2
canth4.3
Assertion
Ref Expression
canth4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,

Proof of Theorem canth4
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . . 8
2 eqid 2457 . . . . . . . 8
31, 2pm3.2i 455 . . . . . . 7
4 canth4.1 . . . . . . . 8
5 elex 3118 . . . . . . . . 9
653ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
7 simpl2 1000 . . . . . . . . 9
8 simp3 998 . . . . . . . . . 10
98sselda 3503 . . . . . . . . 9
107, 9ffvelrnd 6032 . . . . . . . 8
11 canth4.2 . . . . . . . 8
124, 6, 10, 11fpwwe 9045 . . . . . . 7
133, 12mpbiri 233 . . . . . 6
1413simpld 459 . . . . 5
154, 6fpwwelem 9044 . . . . 5
1614, 15mpbid 210 . . . 4
1716simpld 459 . . 3
1817simpld 459 . 2
19 canth4.3 . . . . 5
20 cnvimass 5362 . . . . 5
2119, 20eqsstri 3533 . . . 4
2217simprd 463 . . . . . 6
23 dmss 5207 . . . . . 6
2422, 23syl 16 . . . . 5
25 dmxpid 5227 . . . . 5
2624, 25syl6sseq 3549 . . . 4
2721, 26syl5ss 3514 . . 3
2813simprd 463 . . 3
2916simprd 463 . . . . . . 7
3029simpld 459 . . . . . 6
31 weso 4875 . . . . . 6
3230, 31syl 16 . . . . 5
33 sonr 4826 . . . . 5
3432, 28, 33syl2anc 661 . . . 4
3519eleq2i 2535 . . . . 5
36 fvex 5881 . . . . . 6
3736eliniseg 5371 . . . . . 6
3836, 37ax-mp 5 . . . . 5
3935, 38bitri 249 . . . 4
4034, 39sylnibr 305 . . 3
4127, 28, 40ssnelpssd 3891 . 2
4229simprd 463 . . . 4
43 sneq 4039 . . . . . . . . 9
4443imaeq2d 5342 . . . . . . . 8
4544, 19syl6eqr 2516 . . . . . . 7
4645fveq2d 5875 . . . . . 6
47 id 22 . . . . . 6
4846, 47eqeq12d 2479 . . . . 5
4948rspcv 3206 . . . 4
5028, 42, 49sylc 60 . . 3
5150eqcomd 2465 . 2
5218, 41, 513jca 1176 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  Orwor 4804  Wewwe 4842  X.cxp 5002  'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  -->wf 5589  cfv 5593   ccrd 8337 This theorem is referenced by:  canthnumlem  9047  canthp1lem2  9052 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-1st 6800  df-recs 7061  df-en 7537  df-oi 7956  df-card 8341
 Copyright terms: Public domain W3C validator