MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1lem1 Unicode version

Theorem canthp1lem1 9051
Description: Lemma for canthp1 9053. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1lem1

Proof of Theorem canthp1lem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 7738 . . 3
2 cdaxpdom 8590 . . 3
31, 2mpan2 671 . 2
4 sdom0 7669 . . . . . 6
5 breq2 4456 . . . . . 6
64, 5mtbiri 303 . . . . 5
76con2i 120 . . . 4
8 neq0 3795 . . . 4
97, 8sylib 196 . . 3
10 relsdom 7543 . . . . . . . . . 10
1110brrelex2i 5046 . . . . . . . . 9
1211adantr 465 . . . . . . . 8
13 enrefg 7567 . . . . . . . 8
1412, 13syl 16 . . . . . . 7
15 df2o2 7163 . . . . . . . . 9
16 pwpw0 4178 . . . . . . . . 9
1715, 16eqtr4i 2489 . . . . . . . 8
18 0ex 4582 . . . . . . . . . 10
19 vex 3112 . . . . . . . . . 10
20 en2sn 7615 . . . . . . . . . 10
2118, 19, 20mp2an 672 . . . . . . . . 9
22 pwen 7710 . . . . . . . . 9
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8
2417, 23eqbrtri 4471 . . . . . . 7
25 xpen 7700 . . . . . . 7
2614, 24, 25sylancl 662 . . . . . 6
27 snex 4693 . . . . . . . 8
2827pwex 4635 . . . . . . 7
29 uncom 3647 . . . . . . . . 9
30 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
3130snssd 4175 . . . . . . . . . 10
32 undif 3908 . . . . . . . . . 10
3331, 32sylib 196 . . . . . . . . 9
3429, 33syl5eq 2510 . . . . . . . 8
35 difexg 4600 . . . . . . . . . 10
3612, 35syl 16 . . . . . . . . 9
37 canth2g 7691 . . . . . . . . 9
38 domunsn 7687 . . . . . . . . 9
3936, 37, 383syl 20 . . . . . . . 8
4034, 39eqbrtrrd 4474 . . . . . . 7
41 xpdom1g 7634 . . . . . . 7
4228, 40, 41sylancr 663 . . . . . 6
43 endomtr 7593 . . . . . 6
4426, 42, 43syl2anc 661 . . . . 5
45 pwcdaen 8586 . . . . . . 7
4636, 27, 45sylancl 662 . . . . . 6
4746ensymd 7586 . . . . 5
48 domentr 7594 . . . . 5
4944, 47, 48syl2anc 661 . . . 4
5027a1i 11 . . . . . . 7
51 incom 3690 . . . . . . . . 9
52 disjdif 3900 . . . . . . . . 9
5351, 52eqtri 2486 . . . . . . . 8
5453a1i 11 . . . . . . 7
55 cdaun 8573 . . . . . . 7
5636, 50, 54, 55syl3anc 1228 . . . . . 6
5756, 34breqtrd 4476 . . . . 5
58 pwen 7710 . . . . 5
5957, 58syl 16 . . . 4
60 domentr 7594 . . . 4
6149, 59, 60syl2anc 661 . . 3
629, 61exlimddv 1726 . 2
63 domtr 7588 . 2
643, 62, 63syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  {cpr 4031   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  (class class class)co 6296   c1o 7142   c2o 7143   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccda 8568
This theorem is referenced by:  canthp1lem2  9052  canthp1  9053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator