MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthwe Unicode version

Theorem canthwe 9050
Description: The set of well-orders of a set strictly dominates . A stronger form of canth2 7690. Corollary 1.4(b) of [KanamoriPincus] p. 417. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
canthwe.1
Assertion
Ref Expression
canthwe
Distinct variable groups:   , ,O   , ,   , ,

Proof of Theorem canthwe
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . . . . 8
2 selpw 4019 . . . . . . . 8
31, 2sylibr 212 . . . . . . 7
4 simp2 997 . . . . . . . . 9
5 xpss12 5113 . . . . . . . . . 10
61, 1, 5syl2anc 661 . . . . . . . . 9
74, 6sstrd 3513 . . . . . . . 8
8 selpw 4019 . . . . . . . 8
97, 8sylibr 212 . . . . . . 7
103, 9jca 532 . . . . . 6
1110ssopab2i 4780 . . . . 5
12 canthwe.1 . . . . 5
13 df-xp 5010 . . . . 5
1411, 12, 133sstr4i 3542 . . . 4
15 pwexg 4636 . . . . 5
16 sqxpexg 6605 . . . . . 6
17 pwexg 4636 . . . . . 6
1816, 17syl 16 . . . . 5
19 xpexg 6602 . . . . 5
2015, 18, 19syl2anc 661 . . . 4
21 ssexg 4598 . . . 4
2214, 20, 21sylancr 663 . . 3
23 simpr 461 . . . . . . . 8
2423snssd 4175 . . . . . . 7
25 0ss 3814 . . . . . . . 8
2625a1i 11 . . . . . . 7
27 rel0 5132 . . . . . . . 8
28 br0 4498 . . . . . . . . 9
29 wesn 5076 . . . . . . . . 9
3028, 29mpbiri 233 . . . . . . . 8
3127, 30mp1i 12 . . . . . . 7
32 snex 4693 . . . . . . . 8
33 0ex 4582 . . . . . . . 8
34 simpl 457 . . . . . . . . . 10
3534sseq1d 3530 . . . . . . . . 9
36 simpr 461 . . . . . . . . . 10
3734sqxpeqd 5030 . . . . . . . . . 10
3836, 37sseq12d 3532 . . . . . . . . 9
39 weeq2 4873 . . . . . . . . . 10
40 weeq1 4872 . . . . . . . . . 10
4139, 40sylan9bb 699 . . . . . . . . 9
4235, 38, 413anbi123d 1299 . . . . . . . 8
4332, 33, 42opelopaba 4768 . . . . . . 7
4424, 26, 31, 43syl3anbrc 1180 . . . . . 6
4544, 12syl6eleqr 2556 . . . . 5
4645ex 434 . . . 4
47 eqid 2457 . . . . . . 7
48 snex 4693 . . . . . . . 8
4948, 33opth2 4730 . . . . . . 7
5047, 49mpbiran2 919 . . . . . 6
51 vex 3112 . . . . . . 7
52 sneqbg 4200 . . . . . . 7
5351, 52ax-mp 5 . . . . . 6
5450, 53bitri 249 . . . . 5
5554a1ii 27 . . . 4
5646, 55dom2d 7576 . . 3
5722, 56mpd 15 . 2
58 eqid 2457 . . . . . . 7
5958fpwwe2cbv 9029 . . . . . 6
60 eqid 2457 . . . . . 6
61 eqid 2457 . . . . . 6
6212, 59, 60, 61canthwelem 9049 . . . . 5
63 f1of1 5820 . . . . 5
6462, 63nsyl 121 . . . 4
6564nexdv 1884 . . 3
66 ensym 7584 . . . 4
67 bren 7545 . . . 4
6866, 67sylib 196 . . 3
6965, 68nsyl 121 . 2
70 brsdom 7558 . 2
7157, 69, 70sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  [.wsbc 3327  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  Wewwe 4842  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  Relwrel 5009  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956
  Copyright terms: Public domain W3C validator